Divisibilidad entre números enteros

[Richard R Richard]

Muchas veces sucede que estamos resolviendo un problema y nos queda una división de un par de números, que a priori no nos parece que puedan dar por cociente un número entero, pero que de haberlo sabido no hubiéramos estado buscando la calculadora unos minutos, o haciendo la división a mano, para esos caso hay criterios de divisibilidad que pueden aplicarse fácilmente e ir simplificando la operación que eventualmente puede resolver mentalmente. De hecho hay formas de operar sin hacer ninguna división, que nos permiten saber si un número es divisible por o es un factor de otro.

Partamos de alguna definición decimos que un número entero $a$ es divisible por un número entero $b$ cuando existe un número entero $c$ tal que $b\cdot c=a$

En ese caso tanto $c$ como $b$ son divisores de $a$.

se expresa del siguiente modo $b|a$ y $c|a$

Recordemos una definición fácil de número primo, que son aquellos que son solo divisibles por el número 1 y por si mismo.

Otra regla que necesitamos recordar es que si el divisor $b$ no es un número primo, el número a será divisible por $b$ si y sólo si es divisible por todos los factores de $b$ a la potencia más grande correspondiente. Ej un número es divisible por 24 si es divisible por 3 y también por $2^3$

En una división cuando $a$ es dividido por $b$ y da por cociente $c$, si $a$ es múltiplo de $b$ el resto de la división es 0 , sino el resto será un número inferior en módulo a $b$ que notaremos $r$

Introducimos la notación y lo anterior lo expresamos

$a\equiv r \pmod b$

Entonces si $a$ es divisible por $b$ o en notación $b|a$ escribimos $a\equiv 0 \pmod b$

Los primeros primos los criterios son muy variados y vale la pena darles nueva lectura.

Un Número N es divisible por	Cuando
2	El número es par, es decir termina con una cifra par (0, 2, 4, 6, 8).
3	La suma de todas sus cifras también es un múltiplo de 3, en caso de aún no saberse porque el numero N era largo se puede reiterar la operación sobre la suma obtenida previamente y si esta nueva suma múltiplo de 3 entonces N es divisible por 3 .
5	La última cifra es 0 o 5.
7	Cuando tomando todas cifras de N sin incluir la ultima, la de las unidades y le restamos la esta ultima pero multiplicada por 2 , la diferencia es igual a 0 o bien es un múltiplo de 7.
11	Sumando las cifras de N en posición impar de atrás hacia adelante o viceversa y le restamos la suma de las cifras ubicadas en posición par , Si la diferencia es cero (0 o bien un múltiplo de 11,entonces N divisible por 11. Algo más fácil de ver es que si el número N es de dos cifras ambas se repiten.
13	Cuando tomando todas cifras de N sin incluir la ultima, la de las unidades y le restamos la esta ultima pero multiplicada por 9 , la diferencia es igual a 0 o bien es un múltiplo de 13.
17	Cuando tomando todas cifras de N sin incluir la ultima, la de las unidades y le restamos la esta ultima pero multiplicada por 5 , la diferencia es igual a 0 o bien es un múltiplo de 17.
19	Cuando tomando todas cifras de N sin incluir la ultima, la de las unidades y le sumamos la esta ultima pero multiplicada por 2 ,el resultado es igual es un múltiplo de 19.

Estas últimas reglas tienen un criterio general ,pero de dónde vienen estos criterios, porque multiplicando , sumando y restando puedo saber si es o no múltiplo de un número primo, bueno ese el motivo por el cual hice esta entrada de Blog.

Veamos algo de aritmética modular la que puede ser construida matemáticamente mediante la relación de congruencia entre enteros.

$a$ y $b$ son congruentes módulo $n$, si ambos producen el mismo resto cuando los dividimos por $n$, o lo que es lo mismo, si la diferencia $a-b$, es un múltiplo de entero de $n$.

$k_1 \cdot a+r\equiv k_2\cdot b+r\quad \to\quad a \equiv r\pmod{n}\quad \to\quad b \equiv r\pmod{n}$

Las principales propiedades de la aritmética modular son

$a_1 \equiv b_1 \pmod{n} \quad \wedge \quad a_2 \equiv b_2 \pmod{n}\quad\to \quad a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 \pmod{n}\quad\wedge \quad a_1\cdot a_2 \equiv b_1 \cdot b_2 \pmod{n}$

otras propiedades que no usaremos aquí pero son muy útiles en el álgebra modular provienen del pequeño teorema de Fermat

Si $p$ es un número primo $a^p \equiv a \pmod{p}$

Si $a$ es un entero no divisible por $p$ entonces $a^{p-1} \equiv 1 \pmod {p}$

Retomando

$b$ es divisible por $n$, si $a-b=k\cdot n$ para algún entero $k$.

Sabemos que todo número $N$ se que se escriba en cifras como $abcde$ podemos decir que $N=10000\cdot a+1000\cdot b+100\cdot c+10\cdot d+1\cdot e$

Pero en general podemos reescribir el numero como $N=10\cdot abcd+ e$ y renombrar el número $abcd$ como $p$ y a $e$ como $q$

Quedando $N=10\cdot p+ q$

Apliquemos algo de álgebra modular nuevamente, recordemos algunas herramientas básicas


Si queremos saber si $N$ es divisible por $b$ deberiamos probar que

$N\equiv 0 \pmod b$

Que es lo mismo que

$10\cdot p+ q\equiv 0 \pmod b$

Aplicando las propiedades del álgebra modular podemos multiplicar a N por cualquier número entero x y el producto seguirá cumpliendo la relación de congruencia

$x(10\cdot p+ q)= x\cdot 10\cdot p+ x\cdot q \equiv 0 \pmod b$

Por la relación de congruencia también sabemos que es cierto que

$(x\cdot 10 –k\cdot b) \cdot p + x\cdot q \equiv 0 \pmod b$

Para poder simplificar cálculos debemos despejar $q$ eligiendo los valores de $x$ y $k$

$x\in \mathbb N$

$x=\dfrac{k\cdot b\pm1}{10}$

de ese modo

$\pm p+x\cdot q \equiv 0 \pmod b$

O bien

$p\pm x\cdot q \equiv 0 \pmod b$

que es lo reflejan las leyenda del cuadro anterior

“Cuando tomando todas cifras de $N$ sin incluir la última, la de las unidades,($p$) y le restamos la esta última ($q$) pero multiplicada por( $k$) , la (diferencia / suma) es igual a 0 (es congruente) o bien es un múltiplo de $b$.(que será también congruente)”

Este método es aplicable para cualquier número de cualquier cantidad de cifras, evidentemente a mayor número de cifras resulta más rápido hacer la división directamente.

La divisibilidad para números enteros no primos se verifica aplicando tantas veces los criterio de todos los primos divisores de ese número.

4	Se aplica dos veces la regla del 2, o bien se puede chequear que es solo necesario saber que el número formado por las dos últimas cifras es un múltiplo de 4 o termina en doble cero.
6	El número es divisible entre 2 y entre 3 a la vez.
8	Un número es divisible por 8 si lo es tres veces divisible por 2 o chequeando que si el número formado por las tres últimas cifras es un múltiplo de 8 o termina en tres ceros.
9	Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. O si es divisible por tres 2 veces
10	Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0.o bien si es divisible por 2 y por 5 a la vez
12	Un número es divisible por 12 si es divisible por 3 y por 4 a la vezo bien si lo es dos veces por 2 y por tres a la vez.

[Al2000]

En el mismo orden de ideas, notación, yo nunca estudié la notación para el módulo de un número y cuando más tarde la encontré fue en la forma de operador binario ($r = a \mod b$) o como función ($r = \mod (a,b)$). Pienso que sería bueno mover la parte donde defines la notación de módulo ("En una división cuando es dividido por y da... ") más cerca del principio del artículo y antes de las sentencias en donde lo usas para definir la congruencia.

Bueno, es solo una idea...

[Richard R Richard]

La idea era ir dando las definiciones a medida que las necesitaba, sin servirse de estar de acuerdo a la definición que se dio mucho antes, creo que ha quedado mejor, gracias. En cuanto a la notación de módulo me he copiado de la wikipedia, crees que necesario aclarar que es cada cosa mejor?

[Al2000]

Bueno, yo no soy un matemático y no estoy al tanto de la moda Mi comentario fue simplemente para sugerirte poner el burro delante de la carreta