Método para graficar órbitas geodésicas en el espacio métrico de Kerr.

[Richard R Richard]

Continuando con una temática similar al vista en Un método para graficar órbitas y trayectorias en la teoría Newtoniana de la Gravitación y en Método para graficar órbita geodésicas y trayectorias en el espacio métrico de Schwarzchild.

vamos a observar ese mismo problema pero ahora nuestro objeto de masa M rota ... Así en coordenadas casi-esféricas o 'coordenadas de Schwarzschild' el tensor métrico tiene la forma:

$$\begin{aligned}<br /> g = -c^{2} d\tau^{2}<br /> =-\left( 1 - \dfrac{r_{s} r}{\Sigma} \right) c^{2} dt^{2} + \dfrac{\Sigma}{\Delta} dr^{2} + \Sigma d\theta^{2}<br /> + \left( r^{2} + a^{2} + \dfrac{r_{s} r a^{2}}{\Sigma} \sin^{2}\theta \right) \sin^{2}\theta \ d\phi^{2}<br /> - \dfrac{2r_{s} ra \sin^{2} \theta}{\Sigma} \, c \, dt \, d\phi<br /> \end{aligned}$$

donde las coordenadas $r, \theta, \phi$ son un sistema de coordenadas esféricas estándar, que son equivalentes a las coordenadas cartesianas

$$\left [\begin{aligned}x &= \sqrt{r^2 + a^2} \sin\theta\cos\phi\\<br /> y &= \sqrt{r^2 + a^2} \sin\theta\sin\phi\\<br /> z &= r \cos\theta,\end{aligned}\right .$$

donde

$r_s$ el radio de Schwarzschild $r_{s} = \dfrac{2GM}{c^{2}},$
$M$ es la masa rotante
$J$ es el momento angular.

y donde las escalas de longitud $a, \Sigma$ y $\Delta$ equivalen a

$$a = \dfrac{J}{Mc},$$

$$\Sigma = r^{2} + a^{2} \cos^{2}\theta,$$

$$\Delta = r^{2} - r_{s} r + a^{2}.$$

Las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba en el espacio-tiempo de Kerr se rigen por cuatro constantes de movimiento.

La primera es la masa invariante $\mu$ de la partícula de prueba, definida por la relación

$$-\mu^2 = p^\alpha g _{\alpha\beta}p^\beta,$$

Donde $p^\alpha$ el cuadrimomento de la partícula. Además, hay dos constantes de movimiento dadas por la simetría de traslación y rotación de tiempo del espacio-tiempo de Kerr,

la energía

$$E = -p_t$$

,

y la componente del momento angular orbital paralelo al giro del agujero negro $L_z$

$$L_z = -p_\phi$$

Transcribo de una fuente que utilizando la ecuación de Hamilton - Jacobi ,Brandon Carter demostró que existe una cuarta constante de movimiento, $Q$, ahora conocida como la constante de Carter. Está relacionada con el momento angular total de la partícula y está dada por

$$Q = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu^{2} - E^{2}\right) + \left(\dfrac{L_z}{\sin\theta} \right)^{2} \right)$$

.

Como hay cuatro constantes de movimiento independientes para los grados de libertad, las ecuaciones de movimiento para una partícula de prueba en el espacio-tiempo de Kerr son integrables.

Usando estas constantes de movimiento, se pueden escribir las ecuaciones de trayectoria para una partícula de prueba (usando unidades naturales de G = M = c = 1) y las coordenadas Boyer–Lindquist (Agradecería conseguir las ecuaciones en coordenadas con unidades basadas en el SI , con todas sus unidades)

$$\left [\begin{aligned}\Theta(\theta) &= Q - \cos^2\theta\left ( a^2\left(\mu^2 - E^2\right) + \dfrac{L_z^2}{\sin^2\theta}\right )\\<br /> P(r) &= E\left (r^2 + a^2\right ) - aL_z\\<br /> R(r) &= P(r)^2 - \Delta\left (r^2 + (L_z - aE)^2 + Q\right )\end{aligned}\right .$$

$$\begin{aligned}<br /> \dot t=\dfrac{dt}{d \lambda} &= \dfrac{-a \left (aE \sin^2 \theta - L_z \right) + \dfrac{r^2 + a^2}{\Delta}P(r)}{\Sigma}\\<br /> \dot r=\dfrac{dr}{d \lambda} &= \pm \dfrac{\sqrt{R(r)}}{\Sigma} \\<br /> \dot \theta=\dfrac{d \theta}{d \lambda} &= \pm \dfrac{\sqrt{\Theta(\theta)}}{\Sigma} \\<br /> \dot \phi=\dfrac{d\phi}{d \lambda} &= \dfrac{-\left (aE - \dfrac{L_z}{\sin^2 \theta} \right ) + \dfrac{a}{\Delta}P(r)}{\Sigma}<br /> \end{aligned}$$

Para definir una trayectoria para una partícula de prueba hay que dotarla de los parámetros iniciales de su movimiento como hice en las entradas anteriores, hay que definir su cuadriposición y su cuadrivelocidad


$\overline x=(t_0,r_0,\theta_0,\phi_0)=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(t_{\lambda_0},r_{\lambda_0},\theta_{\lambda_0},\phi_{\lambda_0})$

$\overline v=(t_0,r_0,\theta_0,\phi_0)=(u_0,u_1,u_2,u_3)=(\dot t_{\lambda_0}, \dot r_{\lambda_0},\dot \theta_{\lambda_0},\dot \phi_{\lambda_0})$


Y entonces

$\overline p=m \overline v=P^a = mU^a= m\left( \gamma c , \gamma v_x , \gamma v_y ,\gamma v_z \right) = \left( \frac{\gamma m c^2}{c}, \gamma m v_x , \gamma m v_y ,\gamma m v_z \right) = \left( {E \over c} , p_x , p_y , p_z \right)$


Pero aquí se define que , $\lambda$ es el parámetro afín tal que $\dfrac {dx^\alpha} {d \lambda} = p^\alpha$. En particular, cuando $\mu> 0$ el parámetro afín $\lambda$, está relacionado con el tiempo propio $\tau$ a través de $\lambda =\dfrac{ \tau }{ \mu }$.Por lo que la orbita se consigue variando el parametro $\lambda$ pero la trayectoria , vuelve a tener el inconveniente en que el tiempo no esta en proporción directa a este parámetro

mi idea es volver a aplicar

$$\left(\begin{aligned}t_{(\lambda +\Delta \lambda)}&=t_{(\lambda)}+ \dot t_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\\r_{(\lambda +\Delta \lambda)}&=r_{(\lambda)}+ \dot r_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\\<br /> \theta_{(\lambda +\Delta \lambda)}&=\theta_{(\lambda)}+\dot \theta_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\\<br /> \phi_{(\lambda +\Delta \lambda)}&=\phi_{(\lambda)}+ \dot \phi_{(\lambda)}\,\Delta\lambda\end{aligned}\right)$$

En este método es más difícil calcular la derivada segunda respecto de del parámetro $\lambda$, por lo que se recurre a mejorar el método lineal y no de segundo grado, igualmente podemos calcular una aceleración para comparar con los métodos clásicos haciendo

$$\left [\begin{aligned}a_r(t(\lambda)) & =\dfrac{\dot r_{(\lambda +\Delta \lambda)}-\dot r_{(\lambda)}}{ t_{(\lambda +\Delta \lambda)}-t_{(\lambda)}}\\<br /> a_\theta(t(\lambda)) & =\dfrac{\dot \theta_{(\lambda +\Delta \lambda)}-\dot \theta_{(\lambda)}}{ t_{(\lambda +\Delta \lambda)}- t_{(\lambda)}}\\<br /> a_\phi(t(\lambda)) & =\dfrac{\dot \phi_{(\lambda +\Delta \lambda)}-\dot \phi_{(\lambda)}}{ t_{(\lambda +\Delta \lambda)}- t_{(\lambda)}}\end{aligned}\right .$$

Debido al efecto arrastre de cuadro, un observador de momento angular cero (ZAMO) está co-rotando con la velocidad angular $\Omega$ que se define con respecto al tiempo de coordenadas del contador $t$ La velocidad local $v$ de la partícula de prueba se mide en relación con el giro de la ergósfera con velocidad angular $\Omega$. Para mejorar este tipo de cálculos la dilatación gravitacional del tiempo entre un ZAMO en $r$ fijo y un observador estacionario lejos de la masa es

$$\dfrac{t}{\tau} = \sqrt{{\dfrac{\left(a^2 + r^2\right)^2 - a^2\,\Delta\,\sin^2\theta}{\Delta\,\Sigma}}}$$

.