Continuando con una temática similar al vista en Un método para graficar órbitas y trayectorias en la teoría Newtoniana de la Gravitación

vamos a observar ese mismo problema pero ahora vista desde la abordada desde la relatiidad general ... Así en coordenadas casi-esféricas o '''coordenadas de Schwarzschild''' el tensor métrico tiene la forma:




Donde es la constante de gravitación universal y se interpreta como la masa aparente del objeto, planeta o estrella que crea el campo.
Para definir una trayectoria para una partícula de prueba hay que dotarla de los parámetros iniciales de su movimiento. es decir hay que definir su cuadriposición y su cuadrivelocidad




Donde



La idea ahora es usar en vez del tiempo como un parámetro de cálculo, como hice en mi entrada anterior sobre órbitas clásicas.

Definimos el número de pasos a iterar como y lo que se incrementa el parámetro en cada iteración como luego calculamos el valor del parámetro como

con esos valores podemos hacer un cálculo de cuadriaceleración respecto del parámetro usando la definición las geodésicas de esta métrica son




con un simple paso de términos podemos resolviendo paso a paso el sistema de ecuaciones diferenciales por método numérico de recursividad




donde al incrementar en cada paso de un bucle el valor de en la cantidad arbitraria tendremos


y



La velocidad de cálculo del ordenador no tiene relación alguna con el tiempo calculado(en la coordenada t), por lo que ir graficando en función del parámetro da una visión distorsionada del movimiento. Si bien no puede dar la órbita final, solo nos dará información aproximada de la trayectoria en tiempo real (o proporcional a este)

Nuestra percepción de cómo funciona el sistema está basada en el tiempo como dimensión, luego es buena práctica que al programar el movimiento, primero guardemos los datos en forma externa en tablas , para luego cada vez que la coordenada haya superado un especifico que la placa de video soporte digamos 12 fps o 24 fps osea o s , extraemos en forma ordenada cada frame el valor más cercano a esa coordenada y presentamos la posición ( en el plano ( en pixeles por cualquier sistema de conversión de coordenadas por proyección de a escalado a los extremos (min y max) de órbita que podamos intuir y con eso tendremos una visión en tiempo real de la posición de la partícula de prueba.

En cada paso se puede evaluar la diferencia entre la teoría clásica newtoniana calculando las aceleraciones, velocidades y posiciones para comparar con la teoría Newtoniana o Kepleriana, e ir graficando segmentos entre posición anterior y la actual. Para eso se puede usar la misma metodología que en mi entrada anterior


La aceleración clásica comparativa quizá no la podamos evaluar exactamente en los mismo puntos ya que las trayectorias serán un tanto disimiles, se pueden calcular mediante para un tiempo como el cambio de velocidad sobre el cambio de tiempo entre dos iteraciones consecutivas por ejemplo en la dirección radial.{






Cabe recordar que podemos en todo momento convertir los vectores de la base en esféricas a la cartesiana con

o revertir con


Una referencia a un método alternativo

https://en.wikipedia.org/wiki/Two-bo...ral_relativity