Posición , velocidad y aceleración en coordenadas polares.

[Richard R Richard]

En mecánica muchas veces necesitamos convertir vectores expresados en una base cartesiana , a un sistema e coordenadas polares, , mucho más frecuente a analizar movimiento circular

En coordenadas cartesianas un vector posición de un punto P de coordenadas $(x,y)$ respecto del origen O de coordenadas $(0,0)$ lo escribimos

$\vec X=(\vec P-\vec O)=(x,y)-(0,0)=(x-0)\hat i+(y-0)\hat j=x \hat i+y\hat j$

donde $\hat i$ y $\hat j$ son los vectores unitarios de la base cartesiana

cuando queremos expresar ese mismo vector en coordenadas polares debemos primero establecer la relación de conversión entre coordenadas de los vectores, y la relación entre los vectores unitarios de cada base

Relación entre coordenadas

• La coordenada \rho es la distancia desde punto P al punto O
• La coordenada \theta es el ángulo que forma el vector posición con el eje OX.

Así definimos

$x=\rho \cos\theta$

$y=\rho\sin\theta$

y la relación inversa

$\rho=\sqrt{x^2+y^2}$

$\theta=\arctan\left( \dfrac{y}{x}\right)$

relación entre las bases vectorial en polares


Al igual que el sistema de coordenadas cartesianas, las coordenadas polares llevan asociada una base vectorial, ortonormal , cuyas coordenada son independientes una de la otra. como en las cartesianas

$\hat i \cdot \hat j =0\quad\to \quad \hat i\perp\hat j$

$\hat u_{\rho} \cdot \hat u_{\theta} =0\quad\to \quad \hat u_{\rho}\perp\hat u_{\theta}$

El vector unitario $\hat u_{\rho}$ apunta en la dirección y sentido de la coordenada radial $\rho$ manteniendo la coordenada $\theta$ constante. Si $\rho$ aumenta nos alejamos radialmente del punto O, y si disminuye nos dirigimos hacia O.

El vector unitario $\hat u_{\theta}$ apunta en la dirección y sentido puntual en que varía $\theta$ manteniendo $\rho$ constante. Si $\theta$ aumenta nos desplazamos sobre la tangente a una circunferencia de radio $\rho$ centrada en O, en sentido contrario a las agujas del reloj. Si $\theta$ disminuye el sentido del desplazamiento es el de las agujas del reloj.

Usando los ángulos indicados en la figura podemos expresar los vectores de la base polar en función de los vectores de la base cartesiana y viceversa

$\left\{<br /> \begin{aligned}<br /> \hat u_{\rho} & = \cos\theta\hat i +\sin\theta\hat j \\<br /> \hat u_{\theta} & = -\sin\theta\hat i +\cos\theta\hat j<br /> \end{aligned}<br /> \right.<br /> \quad<br /> \leftrightarrows<br /> \quad<br /> \left.<br /> \begin{aligned}<br /> \hat i & = \cos\theta\hat u_{\rho}-\sin\theta\hat u_{\theta} \\<br /> \hat j & = \sin\theta\hat u_{\rho}+\cos \theta\hat u_{\theta}<br /> \end{aligned}<br /> \right\}$

Vector posición


El vector de posición $\vec x$ puede escribirse como $\vec r$ en un cambio de notación debido a escoger uno u otro sistema de referencia.


En coordenadas polares vector posición debe depender de $\rho$ y $\theta$ solamente

$$\vec X=(x,y)\equiv\vec r =\rho \cos\theta \hat i+ \rho \cos\theta \hat j=\rho\overbrace{(\cos\theta \hat i+ \cos\theta \hat j)}^{\hat u_{\rho}}+0 \hat u_{\theta}=\rho \hat u_{\rho}$$

Así que uno puede preguntarse donde está la coordenada $\theta$ en esta última expresión. La respuesta es que está en el vector unitario $\hat u_{\rho}$ que depende de theta. por eso la posición no tiene coordenada angular $\theta$ (su valor de coordenada es 0)


Vector velocidad


A lo largo del movimiento del punto por el plano las coordenadas polares cambian con el tiempo


Para obtener la velocidad hay que derivar el vector de posición respecto del tiempo. Pero hay que tener en cuenta que al moverse el punto $P$, como varían tanto $\rho$ como $\theta$, también varían los vectores unitarios $\hat u_{\rho}$ y $\hat u_{\theta}$ . Así pues, hay que derivarlos también usando la regla del producto.

obtengamos algunas derivadas útiles y definamos la simbología .

si hay movimiento sabiamos que $x=x(t)$ e $y=y(t)$ eran funciones del tiempo, ahora en coordenadas polares entonces $\rho=\rho(t)$ y $\theta=\theta(t)$ son funciones del tiempo.

así

$$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=\dot \rho$$

es la velocidad radial

$$\dfrac{\partial^2 \rho}{\partial t^2}=\ddot \rho$$

es la acelracion radial

$$\dfrac{\partial \theta}{\partial t}=\dot \theta$$

es la velocidad angular o transversal

$$\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial t^2}=\ddot \theta$$

es la aceleración angular o transversal.


veamos ahora la derivadas de los vectores unitarios de la base

apliquemos la regla de la cadena

$$\dst\dfrac{\partial \hat u_{\rho}}{\partial t}=\dfrac{\partial \hat u_{\rho}}{\partial \theta}\overbrace{\dfrac{\partial \theta}{\partial t}}^{\dot \theta} =\overbrace{(-\sin\theta \hat i+\cos\theta \hat j)}^{\hat u_{\theta}}\dot \theta= \hat u_{\theta}\dot\theta$$

$$\dst\dfrac{\partial \hat u_{\theta}}{\partial t}=\dfrac{\partial \hat u_{\theta}}{\partial \theta}\overbrace{\dfrac{\partial \theta}{\partial t}}^{\dot \theta} =\overbrace{(-\cos\theta \hat i-\sin\theta \hat j)}^{-\hat u_{\rho}}\dot \theta= -\hat u_{\rho}\dot\theta$$

ahora usando estas relaciones como base podemos derivar la posición entonces aplicamos la regla del producto de funciones , primero usando la expresión 1 y derivandola
, luego usando 2 y 6

$\vec v=\dfrac{\partial \vec r}{\partial t}= \dfrac{\partial \rho \hat u_{\rho}}{\partial t}= \rho\dfrac{\partial \hat u_{\rho}}{\partial}+\dfrac{\partial \rho}{\partial t} \hat u_{\rho}=$

$$\boxed{\vec v=\dot \rho \hat u_{\rho}+\rho\dot\theta \hat u_{\theta}}$$

El primer sumando representa la componente de la velocidad en la dirección radial, mientras que el segundo sumando es la componente de la velocidad en la dirección perpendicular a la radial o transversal.


Vector aceleración


Derivamos la velocidad obtenida en 8 respecto al tiempo para obtener la aceleración. de nuevo tenemos que tener en cuenta que$\rho , \theta , \hat u_{\rho} ,\hat u_{\theta}$ dependen del tiempo.

$\vec a=\dfrac{\partial \vec v}{\partial t}= \dfrac{\partial \left(\dot \rho \hat u_{\rho}+\rho\dot\theta \hat u_{\theta}\right)}{\partial t}=\dfrac{\partial \left(\dot \rho \hat u_{\rho}\right )}{\partial t}+\dfrac{\partial \left(\rho\dot\theta \hat u_{\theta}\right )}{\partial t}$


$\vec a=\dfrac{\partial\dot \rho}{\partial t} \hat u_{\rho}+\dot \rho\dfrac{\partial \hat u_{\rho}}{\partial t}+\rho \hat u_{\theta}\dfrac{\partial \dot \theta}{\partial t}+\rho\dot\theta\dfrac{\partial \hat u_{\theta}}{\partial t}+\hat u_{\theta}\dot\theta\dfrac{\partial \rho}{\partial t}$

usando las relaciones 2 hasta la 7

$\vec a =\ddot \rho \hat u_{\rho}+\dot \rho\dot\theta\hat u_{\theta}+\rho\hat u_{\theta}\ddot\theta+\rho\dot\theta(-\hat u_{\rho}\dot\theta)+\hat u_{\theta}\dot \theta\dot\rho$

sacando factor común los vectores unitarios , sumando y agrupando

$$\boxed{\vec a =\hat u_{\rho}(\ddot \rho-\rho\dot\theta^2)+\hat u_{\theta}(2\dot\rho\dot\theta+\rho\ddot\theta)}$$