Cohetes.

[Samir M.]

ESTO ES UN BORRADOR.

Vamos a realizar el estudio del movimiento de distintos tipos de cohetes.

Si desprecias la fuerza de rozamiento del aire sobre el avión, como te dice el enunciado que el avión vuela horizontalmente, entonces no actúa ninguna fuerza sobre éste (en su movimiento horizontal) y puedes considerar que el momento lineal se conserva. Supongamos que la masa del avión en un momento $t$ es $m$, y que se mueve a una velocidad $v$. Entonces, su momento lineal será

$$p_i = mv$$

.

Ahora, supongamos que estamos en un momento $t + \Delta t$; la masa del avión ya no será $m$, será $m - \Delta m_g$ siendo $\Delta m_g$ los gases que han sido expulsados del cohete (la masa que ha perdido). La nueva velocidad del avión será $v + \Delta v$ (al ser menor la masa, la velocidad del avión ya no es la misma, aumenta). Entonces, el momento lineal final se puede escribir como

$$\displaystyle P_f = (m - \Delta m_g) (v + \Delta v) + \Delta m_g (-v' + v)$$

siendo $v'$ la velocidad de expulsión de los gases. Como hemos dicho que el momento lineal se conserva, entonces $\Delta p = 0$ luego

$$\displaystyle p_i = p_f \Rightarrow mv = (m - \Delta m_g) (v + \Delta v) + \Delta m_g (-v' + v) \Rightarrow = m \Delta v - \Delta m_g - \Delta m \Delta v =0$$

haciendo el límite cuando $\Delta t \to 0$ de la ecuación (3) tenemos que

$$\displaystyle m \frac{dv}{dt} - v'\frac{d m_g}{dt} = 0$$

pero la misma masa que pierde el cohete, es la misma masa que sale de él, luego la masa total del sistema masa que sale + masa que entra es constante, luego $0 = \Delta m_g + \Delta m$ y en el límite $\Delta t \to 0$ tenemos que $dm_g + dm = 0 \to dm_g = -dm$, luego

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Como el cohete expulsa gases (pierde masa) a una velocidad constante $k = 80 \frac{kg_{aire}}{ s} + 3 \frac{kg_{carb}}{s} = 83 \frac{kg}{s}$, entonces $\displaystyle -\frac{dm}{dt}=k \to m = m_0 - kt$ por lo que obtenemos finalmente que

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Como $\displaystyle I = \Delta p$, inmediatamente vemos que el impulso del cohete es cero.

Para hallar la potencia, basta notar que $P = \frac{dE}{dt}$ siendo $E$ la energía total del sistema cohete-gases expulsados, o sea, la suma de sus energías cinéticas. La expresión de la energía cinética de los gases en un instante t queda como

$$\displaystyle dE_c = \frac{1}{2} dm (v-v')^2$$

y teniendo en cuenta que $\displaystyle -\frac{dm}{dt}=k$ y la expresión (6) sustituyes e integras respecto del tiempo.

Cuando integras y sumes las energías cinéticas, te quedará que $\displaystyle E =\frac{1}{2}kt {v'}^2$ luego $P = \frac{dE}{dt} = \frac{1}{2}k {v'}^2$

Saludos.[/QUOTE]