El burro y la alfalfa

[Saplaya]

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Hace poco tiempo un amigo me recordó el viejo problema de “el burro y la alfalfa”, este problema, que enseguida pasaré a exponer, ya lo había visto anteriormente en alguna ocasión, aunque nunca me paré a resolverlo. Lo cierto es que en esta ocasión terminó picándome la curiosidad y acabé liándome con él hasta dar con el resultado.

Lo peculiar de este asunto es que cuando uno lo ve, a primera vista le parece que va a ser cuestión de utilizar un par de formulitas de geometría y como mucho algo más de matemáticas, pero lo cierto es que de eso nada. El problema consiste en lo siguiente.

Un agricultor dispone de un campo de alfalfa circular de radio $R$ y también posee un burro al que quiere alimentar con la alfalfa del campo, pero asegurándose de que el burro no acabe comiéndose más de la mitad de la alfalfa disponible. Para ello, ata al burro con una cuerda que fijará en un punto del perímetro del campo de alfalfa, pero su duda es ¿cuanto deberá medir la cuerda para asegurar que el burro no exceda el consumo deseado?

La figura que tenemos abajo, representa el campo de radio $R$, la cuerda de longitud $r$ y el área $A$ de la parte del campo en la que el burro podrá pastar.

Fig. 1

Para proceder a la solución partiremos de la representación gráfica siguiente

Fig. 2

en ella, el área que queremos acotar es

$$\frac{\pi R^2}{2}=A=2A_1+A_2$$

y viene determinada en el sistema de referencia x-y, por la integral doble

$$A=2A_1+A_2=\int\int_D\dd{x}\dd{y}$$

donde el dominio $D$ es el comprendido entre las dos circunferencias

$$x^2+y^2=r^2$$

$$x^2+(y-R)^2=R^2$$

para resolver esta integral hacemos el cambio de variable a polares

$$x=\rho \cos{\alpha}$$

$$y=\rho \sin{\alpha}$$

con lo que el área se calculará por

$$A=\int\int_{D'} J\dd{\rho}\dd{\alpha}$$

donde $D'$ es el dominio en el nuevo sistema de referencia y $J$ es el determinante Jacobiano para este cambio de variable

$$J=\begin{vmatrix}<br /> {\frac{\partial {x}}{\partial{\rho}}} & {\frac{\partial {x}}{\partial{\alpha}}} \\<br /> {\frac{\partial {y}}{\partial{\rho}}} & {\frac{\partial {y}}{\partial{\alpha}}}<br /> \end{vmatrix}=\rho$$

(para ver más sobre la anterior expresión integral se puede acudir a la demostración de la obtención de un área en $\mathbb{R}^2$)


el dominio en este nuevo sistema es por tanto, el comprendido entre $\dst\rho=0$ y las circunferencias representadas en polares cuyas ecuaciones son

$$x^2+y^2=r^2$$

$$(\rho^2 \cos^2{\alpha})+(\rho^2\sin^2{\alpha})=r^2$$

$$\rho^2=r^2, \qquad \boxed{\rho=r}$$

$$x^2+(y-R)^2=R^2$$

$$x^2+y^2+R^2-2yR=R^2$$

$$\rho^2=2R\rho \sin{\alpha}, \qquad \boxed{\rho=2R\sin{\alpha}}$$

Dado que en el punto de intersección de las circunferencias $\rho$ vale $r$, la representación de los arcos de circunferencia en el sistema de referencias polar quedará de acuerdo a la figura 3

Fig. 3

de esta forma, los valores de las áreas de cada zona serán

$$A_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}-\theta}\int_0^{2R\sin{\alpha}}\rho \dd{\rho}\dd{\alpha}$$

$$A_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}-\theta}\frac{4R^2\sin^2{\alpha}}{2}\dd{\alpha}=2R^2\int_0^{\frac{\pi}{2}-\theta}\frac{1-\cos{2\alpha}}{2}\dd{\alpha}=2R^2\left[\left({\frac{\pi}{4}}-{\frac{\theta}{2}}\right )-\left[\frac{\sin{2\alpha}}{4}\right ]_0^{\frac{\pi}{2}-\theta}\right ]$$

$$\boxed{A_1=2R^2\left[{\frac{\pi}{4}}-{\frac{\theta}{2}}-\frac{\sin{2\theta}}{4}\right ]}$$

$$A_2=\int_{\frac{\pi}{2}-\theta}^{\frac{\pi}{2}+\theta}\dd{\alpha}\int_0^r\rho \dd{\rho}=2\theta\frac{r^2}{2}$$

$$\boxed{A_2=\theta r^2}$$

Como el área buscada debe valer la mitad de la del circulo de radio $R$ tenemos

$$\frac{\pi R^2}{2}=A=2A_1+A_2=4R^2\left[{\frac{\pi}{4}}-{\frac{\theta}{2}}-\frac{\sin{2\theta}}{4}\right ]+\theta r^2$$

$$\frac{\pi R^2}{2}=\pi R^2-2R^2\theta-R^2\sin{2\theta} +\theta r^2$$

$$\theta(2R^2-r^2)=\frac{\pi R^2}{2}-R^2\sin{2\theta}=R^2\left (\frac{\pi}{2}-\sin{2\theta}\right )$$

$$\theta\left(2-\frac{r^2}{R^2}\right)=\frac{\pi}{2}-\sin{2\theta}$$

$$\frac{r^2}{R^2}=\frac{\sin{2\theta}-\frac{\pi}{2}}{\theta}+2=\frac{2\sin{2\theta}-\pi}{2\theta}+2$$

De la figura 2 tenemos que $\gamma=2\theta$, de modo que sustituyendo, tenemos

$$\frac{r^2}{R^2}=\frac{2\sin{\gamma}-\pi}{\gamma}+2$$

$$\boxed{\frac{r^2}{R^2}=\frac{2\sin{\gamma}-\pi+2\gamma}{\gamma}}$$

Cuando estamos en el punto de intersección de las dos circunferencias se cumple que $\dst \alpha=\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2} \qquad\longrightarrow \rho=r$

y como para la circunferencia que encierra $A_1$ ya vimos que $\rho=2R\sin{\alpha}$, se cumplirá para este punto que

$$r=2R\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}\right)}=2R\cos{\frac{\gamma}{2}}$$

despejando y elevando al cuadrado

$$\frac{r^2}{R^2}=4\cos^2{\frac{\gamma}{2}}$$

por trigonometría sabemos que $\dst \cos^2{\frac{\gamma}{2}}=\frac{1+\cos{\gamma}}{2}$, lo cual nos lleva a

$$\boxed{\frac{r^2}{R^2}=2+2\cos{\gamma}}$$

Igualamos ahora las ecuaciones (1) y (2)

$$\frac{2\sin{\gamma}-\pi+2\gamma}{\gamma}=2+2\cos{\gamma}$$

$$\boxed{2\sin{\gamma}-\pi=2\gamma\cos{\gamma}}$$

Esta es una ecuación transcendente, con lo que para obtener su solución tendremos que recurrir a los métodos numéricos. Yo en mi caso he obtenido el resultado haciendo uso de una hoja excel, que adjunto, en la que he realizado cuatro conjuntos de cálculos, utilizando como límites superior e inferior en cada caso los valores de ángulo inmediatamente anterior y posterior del resultado obtenido en el caso anterior y aumentando en cada cálculo la precisión.

Para el primer cálculo he partido de valores de $\gamma$ entre 0º y 180º. El valor de $\dst\gamma$ que finalmente obtengo con la excel es

$$\boxed{\gamma=109,1883\text{ grd}}$$

lo cual corresponde a una relación entre radios, de acuerdo con la ecuación (2), de

$$\boxed{\boxed{\frac{r}{R}=1,15872847}}$$

Saludos a todos


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[Stormkalt]

Hola Ulises:

Ahora lo veo, se me había pasado por alto esa parte del enunciado a la hora de razonar esa expresión.

¡Saludos!

[Saplaya]

Gracias por vuestros comentarios

Respecto a la pregunta, veo que ya está clara. Efectivamente, tal y como indica Ulises, es la condición que se quiere conseguir; $A$ es el área en la que se quiere que el burro pueda comer, y se desea que sea igual a la mitad de la del circulo de radio $R$. Por otra parte, para facilitar el cálculo he dividido el área que el burro abarca en dos segmentos circulares de área $A_1$ cada uno y un sector circular de área $A_2$.

Buen día a todos.

[joyerivero]

Hola. Las figuras NO se ven. No se como seleccionaste las áreas.