Mecánica de Fluidos I. Aplicación de flujo del fluido, transporte y evolución de una región en éste.

[sater]

Bueno, por aquí va la primera entrega de mecánica de fluidos. Finalmente me he decidido por ésta, pues creo que aparte de ser interesante será más útil en un futuro para compañeros de mi grado por lo que ya comenté, y quién sabe, quizá al terminarla me dé por hablar de lo otro.

Lo que aquí escriba estará fundamentalmente sacado de mis apuntes de clase de la asignatura de Mecánica Teórica impartida por José Antonio Oller Berber, con (si acaso) alguna inclusión de algo que me guste de otros libros, que comentaré en su momento. Allá vamos.

Veamos primero qué se entiende por un fluido. De forma trivial, un fluido es aquello que presenta la propiedad de fluidez, que de forma idealizada sería la no oposición a esfuerzos tangenciales. Si la hubiera, hablaríamos de un fluido viscoso. Los fluidos (líquidos y gases) son sistemas continuos, luego usaremos variables continuas para describirlos. Aviso por tanto que lo ideal para entender esta entrada, y las que le sigan, será poseer un conocimiento básico acerca de cálculo en varias variables.

Maticemos ahora qué implica que sea un medio continuo. Implica que, cuando hablemos de elementos de volumen infinitamente pequeños, nos queremos referir a muy pequeños en comparación al tamaño macroscópico del sistema, pero aun así de un tamaño grande respecto a la distancia entre partículas.

Vayamos al lío. Hablemos acerca de la evolución del fluido.

Ésta vendrá descrita por una aplicación (conocida en la literatura como "fluid flow map") la cual nos da la evolución temporal de un punto en el fluido. Es decir, dado un punto del fluido $\vec x$, su evolución a tiempo $t$ es la imagen de este punto por dicha aplicación, $\vec{\phi}(\vec x,t)$. Esta aplicación, a la cual llamaremos aplicación de flujo del fluido ciñéndonos a la literatura, también puede devolvernos de un punto a puntos anteriores, en otras palabras, es invertible. Por último, destacar lo obvio: según está definida, $\vec\phi (\vec x, t_0)=\vec x$ (el punto de partida).

Según esta notación, $\vec x$ es un vector constante, y el campo de velocidades es por tanto función de la aplicación de flujo (que son los puntos iniciales evolucionados por esta aplicación). Por ello se debe tener especial cuidado a la hora de escribir los argumentos. Por lo dicho, escribiremos $\vec v=\vec v(\vec \phi (\vec x,t),t)$ siendo:

$$\vec v=\dfrac{d\vec \phi}{dt}$$

De forma natural, el campo de aceleraciónes será:

$$\vec a(\vec\phi,t)=\dfrac{d\vec v}{dt}=\dfrac{\partial \vec v}{\partial t}+\sum_i \dfrac{\partial v}{\partial \phi_i}\dfrac{d\phi_i(\vec x,t)}{dt}$$

De esta expresión, debemos reseñar que, en el último término, dado que con nuestra notación $\vec x$ es constante, la derivada parcial y la total respecto al tiempo de la aplicación coinciden. Sobre este mismo término, también debemos notar que es la velocidad, y por la forma de la expresión, debemos también notar que la velocidad está contrayéndose con la divergencia de la velocidad, es decir, lo podemos reescribir como:

$$\vec a(\vec \phi,t)=\dfrac{\partial \vec v}{\partial t}+(\vec v \cdot \vec \nabla)\vec v$$

Fijaos en que el producto escalar es entre la velocidad de la izquierda con el operador nabla. Esto es importante.

Habiendo terminado de definir los conceptos iniciales, pasemos a hablar del transporte en el fluido, y de como evoluciona una región en él.

Sea $W_{t_0}$ una región fija en el fluido. Sus puntos evolucionan mediante la aplicación de $\vec \phi$, por tanto escribiremos $W_t$ como la región $W_{t_0}$ evolucionada por la aplicación sobre sus puntos de $\vec \phi$. ¿Lógico, no? Ahora, por ser claros, denotemos como $\vec x_0$ a los puntos de $W_{t_0}$ y como $\vec x=\vec \phi(\vec x_0,t)$ a los puntos de $W_t$.

El volumen en ella contenida será entonces

$$V(t)=\int_{W_t} d^3 \phi = \int_{W_{t_0}} \left|det\left[\dfrac{\partial x_i}{\partial x_{0j}}\right]\right| d^3 x_0=\int_{W_{t_0}} J(\vec x_0,t) d^3 x_0$$

con $J(\vec x_0,t)$ el jacobiano de la transformación.

Ante todo, he de perdir perdón por liar un poco con la notación. En este caso, lo que antes era $\vec x$ ahora es $\vec x_0$, siendo por tanto $d^3 \phi \leftrightarrow d^3 x$.

Todo esto sirve para ver que, el volumen de nuestra región evolucionada en el tiempo se puede poner como la integral del jacobiano del cambio de variables respecto al volumen inicial, a tiempo fijo por tanto.

Por ser a tiempo fijo, la derivada total del volumen entrará al integrando como la derivada del jacobiano (parcial además) respecto al tiempo:

$$\dfrac{d V(t)}{dt}=\int_{W_{t_0}} \dfrac{\partial J(\vec x_0,t)}{\partial t} d^3 \vec x_0$$

Sigamos ahora otro sendero. Si observamos la evolución temporal del sistema en un intervalo diferencial de tiempo, tenemos que:
$\vec \phi(\vec x,t)=\vec \phi(\vec x_0,t)+\dfrac{d\vec \phi(\vec x_0,t)}{dt} dt+\mathcal{O}(dt^2)$

donde $\dfrac{d\vec \phi(\vec x_0,t)}{dt}=\vec v(\vec \phi(\vec x_0,t),t)$ . Lo único que hemos hecho es una expansión de $\vec \phi$ al evolucionar los puntos de la región en el tiempo. Esencialmente, se puede compactar escribiendo:

$$\vec x^{\prime}=\vec x+\vec v(\vec x,t) dt +\mathcal{O}(dt^2)$$

Por tanto

$$V(t+dt)-V(t)=\int_{W_{t+dt}} d^3 x^{\prime}-\int_{W_t} d^3 x=\int_{W_t} (J(\vec x,t)-1) d^3 x$$

Pero ahora el jacobiano (cuya expresión es $|det(\partial x_i^{\prime}/\partial x_j)|$) es fácilmente computable según la ecuación de transformación (6):

$\dfrac{\partial x_i^{\prime}}{\partial x_j}=\dfrac{\partial x_i}{\partial x_j}+\dfrac{\partial v_i}{\partial x_j} dt=\delta_{ij}+\dfrac{\partial v_i}{\partial x_j}dt$

con $\delta_{ij}$ la delta de Kronecker.

Un conocido resultado del Álgebra es que, si $A=\epsilon M$ es una matriz infinitesimal, $det(\mathbb{I}+\epsilon M)=1+Tr[\epsilon M]+\mathcal{O}(\epsilon ^2)$.

En nuestro caso, con los cambios $M_{ij}\leftrightarrow \dfrac{\partial v_i}{\partial x_j}$ y $\epsilon \leftrightarrow dt$, nos queda:

$$J(\vec x,t)=1+Tr\left[\dfrac{\partial v_i}{\partial x_j}\right] dt$$

Pero la traza de dicha matriz es por definición la divergencia de la velocidad, por lo que sustituyendo en (7):

$$\dfrac{dV(t)}{dt}=\int_{W_t} \vec \nabla v(\vec x,t) d^3 x= \int_{\partial W_t} \vec v(\vec x,t)\cdot d\vec A$$

donde en la segunda igualdad se ha aplicado el Th. de Gauss.

Si relacionamos ahora esto con la primera forma que encontramos para el cambio del volumen, vemos que:

$$\dfrac{d V(t)}{dt}=\int_{W_{t_0}} \dfrac{\partial J(\vec x_0,t)}{\partial t} d^3 x_0=\int_{W_{t_0}} \vec \nabla \vec v (\vec x(\vec x_0,t),t) J(\vec x_0,t) d^3 x_0$$

donde hemos vuelto a cambiar las variables a las de la región a tiempo inicial. Dado que ésta es arbitraria se extrae que:

$$\dfrac{\partial J(\vec x_0,t)}{\partial t}=\vec \nabla_{\vec x} \vec v (\vec x(\vec x_0,t),t) J(\vec x_0,t)$$

Remarquemos que la divergencia de la velocidad es respecto a las variables evolucionadas mientras que la dependencia de estas variables es la misma que la del jacobiano. De esta relación podríamos integrar y obtener por tanto el jacobiano a tiempo t. Esta relación se puede demostrar "a pelo" por otro sendero, si alguien está interesado le digo la referencia.

Aquí finalizaré para que no quede muy larga la primera entrada que escribo. El próximo día iniciaré con un último desarrollo matemático que podría ser interesante, y ya comenzaré a deducir las expresiones archiconocidas de la dinámica de fluidos.

Cualquier errata o error por favor comentadlo, y cualquier lío que tengáis también. Sobre la notación, espero no haber liado a nadie. Otra cosa que noto es que queda muy cargado tanta flecha sobre los vectores, en esta primera entrada he tenido cuidado de escribir todos los argumentos siempre para que quede claro respecto a qué depende cada cosa, pero en futuras ahorraré escribir tanto la dependencia para que visualmente sea más comodo. Al inicio en vez de utilizar el comando \vec para los vectores empecé usando \bold, pero para las letras griegas parece que no funciona. Lo siento por tanto si así la lectura es menos cómoda.