Mecánica de Fluidos III. Ecuación de continuidad, ecuación de Euler y fluidos incompresibles.

[sater]

Bueno, empecemos por fin con la física del asunto.

Derivemos primero la ecuación de continuidad. Esta ecuación proviene del hecho de que la masa se conserve, es decir, que dada una región el cambio de la masa en esta debe ser igual a la masa que sale o entra. Veamos dos deducciones de nuevo: la intuitiva y la formal.

De forma intuitiva podemos ver que, si en una región no hay fuentes ni sumideros, la derivada total de la función $m(t)$ ha de ser nula. Por definición

$$m(t)=\int_{W_t} \rho(\vec x,t) d^3 x$$

Usando el truquete de discretizar:

$$\dfrac{d m(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\sum_i \left[\rho_i \Delta V_i\right]=\sum_i \left[\dfrac{d\rho_i}{dt}\Delta V_i + \rho_i \dfrac{d\Delta V_i}{dt}\right]$$

De nuevo, conocemos la derivada del volumen para un volumen infinitesimal, $d(\Delta V_i)/dt=\vec\nabla \vec v \Delta V_i$, por tanto:

$$\dfrac{d m(t)}{dt}=\int_{W_t} \left[\dfrac{d\rho}{dt}+\rho\vec\nabla\vec v \right]d^3 x$$

Dado que el volumen es arbitrario, el integrando debe anularse. Aplicando la regla de la cadena para desarrollar la derivada total de la densidad (o dando por hecho que es una derivada material):

$$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\vec v\cdot\vec\nabla \rho+\rho \vec\nabla \vec v=\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+ \vec\nabla(\rho \vec v)=0$$

que es la ecuación de continuidad.

Si queremos verlo más formalmente, podemos usar directamente la deducción que hicimos en la segunda entrada. Así es directo:

$$m(t)=\int_{W_t} \rho(\vec x,t) d^3 x\longrightarrow \dfrac{d m(t)}{dt}=\int_{W_t}\left[ \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\vec\nabla(\rho \vec v)\right] d^3 x$$

recuperando lo anterior de forma directa.

Veamos algo de la interpretación. Si nos fijamos, el segundo término de la anterior ecuación se puede reescribir mediante el teorema de la divergencia (y aprovechándonos ya del hecho de que sabemos que es nulo) quedándonos que:

$$\int_{W_t} \dfrac{\partial \rho}{\partial t}d^3 x =- \int_{\partial W_t} \rho \vec v\cdot d\vec A$$

con $d\vec A$ un vector normal a la superficie y orientado hacia fuera. Fijémonos en que tenemos una derivada parcial de la densidad dentro del integrando en el miembro izquierdo. Si nuestra región fuera fija, esa derivada parcial podría salir fuera como una derivada total, y precisamente lo que tendríamos es la derivada de la masa de dicha región fija. Justamente esa es otra forma de establecer la ecuación de continuidad/conservación de la masa: el cambio de masa de la región fija es igual al flujo de masa entrante. Así enunciado la ecuación directa que plantearíamos sería esta última.

Completemos un poco este tema. Hablemos ahora de incompresibilidad: un fluido es incomprensible si dada una región $W_t$ su volumen permanece constante en el tiempo. Sea $V(t)$ dicho volumen:

$$\dfrac{dV}{dt}=\int_{W_t}\vec\nabla \vec v d^3 x=0$$

Es decir, un fluido es incompresible si la divergencia de la velocidad es nula: $\vec\nabla\vec v=0$
Pero vayamos más allá. Por lo que vimos en la primera entrada:

$$\dfrac{d}{dt}\int_{W_t} d^3 x=\dfrac{d}{dt}\int_{W_{t_0}} J(\vec x_0,t) d^3 x_0=\int_{W_{t_0}} \vec\nabla \vec v J(\vec x_0,t) d^3 x_0$$

Lo anterior como ya sabemos debe ser igual a la integral de la divergencia de la velocidad, por tanto es equivalente afirmar que: un fluido es incompresible si la divergencia de la velocidad es nula, o simplemente, un fluido es incompresible si en su evolución el Jacobiano de la transformación vale la unidad. Fijémonos en que esto mismo ocurre en mecánica Hamiltoniana. En ella se demuestra que la evolución de una región del espacio de fases cuyos puntos evolucionan mediante el mismo Hamiltoniano (i.e. su evolución es canónica) es la típica de un fluido incompresible, y la demostración pasa por ver que, bajo dicha evolución temporal de los puntos de la región, el Jacobiano de la transformación vale la unidad.

De la ecuación de continuidad:

$$\dfrac{d\rho(\vec x,t)}{dt}+\rho\vec\nabla \vec v=0$$

como la divergencia de la velocidad es nula, vemos que un fluido es incompresible si su densidad es constante. Si el fluido es homogéneo, es decir, la densidad es constante en todos los puntos del espacio, será incompresible si además es constante en tiempo.

Para finalizar esta parte, veamos la relación entre la densidad y el Jacobiano. Dado que la masa se conserva:

$$\int_{W_t} \rho(\vec x,t)\:d^3 x=\int_{W_0}\rho(\vec x_0,0)\:d^3 x_0$$

Cambiando de variables en el miembro izquierdo:

$$\int_{W_0} \rho(\vec\phi(\vec x_0,t),t)J(\vec x_0,t)\:d^3 x_0=\int_{W_0} \rho(\vec x_0,0)\:d^3 x_0$$

de donde:

$$\rho(\vec\phi(\vec x_0,t),t)J(\vec x_0,t)=\rho(\vec x_0,0)$$

Esta relación no es tan abstracta como parece. Supongamos un fluido unidimensional ideal, tal que a tiempo $t_0$ la coordenada $x$ de una partícula fluida es $a$. En su evolución a tiempo $t$ habrá pasado a la coordenada $x=x(a,t)$. La conservación de la masa (es decir, la ecuación de continuidad) nos dice que $\rho(x(a,t),t) dx=\rho_0 da$, de donde:

$$\rho(x(a,t),t)\dfrac{dx}{da}=\rho_0$$

que es justamente la ecuación (11) unidimensional.

Pasemos por fin a la ecuación de Euler.

Previo a ello, debemos definir qué entendemos por fluidos ideales. De forma sencilla, son aquellos que no presentan viscosidad, es decir, resistencia a esfuerzos tangenciales. Una definición más precisa es que: un fluido es ideal si para cualquier movimiento de éste existe una función $p(\vec x,t)$ llamada presión tal que si $S$ es una superficie en el fluido cuya normal hacia el exterior de ésta es $\hat n$, la fuerza ejercida a traves de la superficie por unidad de area en el punto $\vec x\in S$ en el tiempo $t$ es $p(\vec x,t)\hat n$.

En el anterior enunciado se entiende que no hay fuerzas externas, es decir, ningun campo externo (aunque se pueden introducir y el fluido sigue siendo ideal, lo que el enunciado quiere decirnos más bien es que, de haber alguna fuerza entre las partes del fluido, es solo de presión de unas sobre otras, y no de fricción).

Como comentario, John Von Neumann (matemático húngaro-estadounidense del siglo pasado que realizó contribuciones importantes a múltiples áreas, destacando en física la hidrodinámica y la mecánica cuántica) sabía que había una gran diferencia en el comportamiento de líquidos viscosos frente a líquidos ideales (¡y en la vida real no hay nada ideal!), y sólo sobre estos últimos se había trabajado (por intereses matemáticos) hasta comienzos del siglo XX. John Von Neumann caracterizó a los teóricos que se dedicaban a estos análisis como hombres que estudiaban el "agua seca". Por ello Feynman llamó al capítulo 40 del segundo volumen de sus lectures "el flujo del agua seca", en contraposición al "agua real", la cual posee la propiedad de viscosidad.

Una vez definido el fluido ideal, vemos que la fuerza sobre una región $S$ será:

$$\vec F=-\oint_{S}p(\vec\phi(\vec x,t),t)d\vec A$$

(recuperamos la notación de que nuestros puntos iniciales son $\vec x$ los cuales evolucionan mediante la aplicación de flujo del fluido)

El signno negativo se incluye pues el vector $d\vec A$ apunta al exterior de la región, mientras que sabemos que la fuerza por la presión del líquido circundante apuntará hacia el interior.

De lo anterior, proyectando sobre un vector $\hat e$ fijo, y supongamos (por mejorar la notación) que nuestra región es la frontera de un volumen $W$, es decir, $S=\partial W$ :

$$\vec F \hat e=\int_{\partial W} p(\vec \phi,t) \hat e\cdot d\vec A=-\int_{W} \vec\nabla (p \hat e) d^3 x=-\hat e \int_{W} \vec\nabla p \: d^3 x$$

donde hemos usado el teorema de la divergencia para pasar a una integral de volumen (¡por ello habíamos proyectado primero!)

Dado que el vector unitario $\hat e$ es arbitrario, concluimos que:

$$\vec F=-\int_{W} \vec \nabla p \: d^3 x$$

De lo anterior, vemos que la fuerza por unidad de volumen es $-\vec\nabla p$. La ecuación de Euler surge simple y llanamente de un equilibrio de fuerzas. Para una región infinitesimal, la segunda ley de Newton nos dice que:

$$\Delta m_i \dfrac{d\vec v_i}{dt}=-\vec\nabla p_i \: \Delta V_i$$

Despejando se obtiene que :

$$\dfrac{d\vec v}{dt}=-\dfrac{\vec\nabla p}{\rho}$$

Como el gradiente de una función escalar es un vector que apunta hacia el máximo relativo, vemos que; debido al signo negativo, la anterior ecuación establece que el fluido se desplaza de las zonas de mayor presión a las de menor.

Si hubiera habido algún campo externo que representaremos como $\vec b$ (fuerza por unidad de masa, es decir, fuerza específica) se hubiera incluido como una fuerza más en la segunda ley de Newton:

$$\dfrac{d\vec v}{dt}=-\dfrac{\vec\nabla p}{\rho}+\vec b$$

¿Cómo derivaríamos de aquí toda la hidrostática? Pues haciendo que la aceleración sea nula, es decir, el miembro izquierdo nulo. Por tanto:

$$\vec\nabla p+\rho \vec b=0$$

Si además el campo externo deriva de un potencial (por unidad de masa de nuevo):

$$\vec\nabla p+\rho \vec\nabla \phi=0$$

Aquí nos sentimos tentados de introducir la densidad en el gradiente del potencial. Si fuera constante (el fluido fuera incompresible), al introducirla se nos reduce a que:

$$p+\rho\phi=\text{constante}=C$$

Ya va teniendo una forma que a todos nos resulta familiar. Sobre todo si $\phi$ fuera el potencial gravitatorio (por unidad de masa) $gz$:

$$p+\rho g z=C$$

Fijando la presión de referencia $p_0$ en $z=0$:

$$p=p_0-\rho g z$$

que es la ecuación de la hidrostática que todos conocemos.

Saquémosle algo más de jugo a la ecuación de Euler. Lo más inmediato es ver que, derivando la velocidad usando la regla de la cadena:

$$\dfrac{d\vec v}{dt}=\dfrac{\partial v}{\partial t}+(\vec v\cdot \vec \nabla) \vec v=\dfrac{-1}{\rho}\vec\nabla \rho$$

(por el momento olvidamos los campos externos, que se pueden introducir siempre fácilmente al final)

Existe una bonita relación vectorial que nos dice que: $(\vec v\cdot \vec \nabla) \vec v=\frac{1}{2}\vec\nabla v^2-\vec v\times(\vec \nabla \times \vec v)$, por lo que podemos reescribirla como:

$$\dfrac{\partial \vec v}{\partial t}+\dfrac{1}{2}\vec\nabla v^2 - \vec v\times(\vec\nabla \times \vec v)=\dfrac{-1}{\rho}\vec \nabla p + \vec b$$

Veamos que, mediante la ecuación (24), recuperamos la definición de fuerza que hicimos al inicio. El momento de una región $W_t$ del líquido será:

$$\vec P(t)=\int_{W_t} \rho(\vec x,t) \vec v(\vec x,t) d^3 x$$

(la relación es obvia si nos fijamos en que la densidad por el elemento de volumen es en cada momento el diferencial de masa)

Sabemos que la derivada temporal del momento es la fuerza. Derivando con el truquete de discretizar:

$$\dfrac{d\vec P}{dt}=\sum_i \left[ \dfrac{d\rho_i}{dt}\vec v_i \Delta V_i + \rho_i \dfrac{d\vec v_i}{dt}\Delta V_i + \rho_i \vec v_i \dfrac{d\Delta V_i}{dt}\right]$$

Ahora usamos la ecuación de continuidad para la densidad, $\dfrac{d\rho}{dt}=-\rho \nabla \vec v$, la ecuación de Euler para la derivada de la velocidad, y la derivada del volumen es como ya sabemos de la primera entrada $\dfrac{d\Delta V}{dt}=\vec\nabla \vec v \Delta V$, y lo anterior resulta en:

$$\dfrac{d\vec P}{dt}=\sum_i\left[-\rho_i \vec v_i \vec \nabla \cdot \vec v_i\:\Delta V_i + \rho_i\left(\dfrac{-\vec\nabla p_i}{\rho_i}+\vec b_i\right) \Delta V_i+\rho_i \vec v_i\vec\nabla\cdot\vec v_i \Delta V_i\right]$$

que volviendo al continuo:

$$\dfrac{d\vec P}{dt}=\int_{W_t} \left( -\vec \nabla p + \rho \vec b\right) d^3 x$$

justamente lo que esperábamos encontrar.

El rotor de la velocidad es un campo vectorial que se conoce como vorticidad, denotada por $\vec \Omega$. Si esta es cero en cualquier lugar, el flujo es irrotacional. Para entenderla un poco mejor, sea $S$ una superficie y sea $C=\partial S$ su frontera (una curva cerrada). La circulación (de la que nos ocuparemos más adelante, aunque podemos introducir ahora pues es una cantidad que se ve en todos los cursos de cálculo vectorial) de la velocidad es:

$$\Gamma=\oint_{C} \vec v \cdot d\vec r$$

Si aplicamos el teorema de Stokes, el segundo miembro pasa a la integral sobre dicha superficie del rotor de la velocidad, de donde vemos que la vorticidad es la circulación por unidad de area para un camino infinitesimal.

Supongamos ahora que solo estamos interesados en el campo de velocidades, y además, no hay fuerzas externas o éstas se derivan de un potencial y el fluido es incompresible (la densidad es constante). Si aplicamos el rotacional en ambos miembros de la ecuación de euler, y como sabemos que el rotacional de un gradiente es cero:

$$\dfrac{\partial \vec \Omega}{\partial t} + \vec\nabla \times(\vec \Omega \times \vec v)=0$$

donde el signo menos ha cambiado pues "le hemos dado la vuelta" al producto vectorial.

Esta ecuación junto con la definición de vorticidad y la ecuación de flujo incompresible define el campo de velocidades. Si conocemos la vorticidad en cierto instante, ya podemos resolverlas para encontrar el campo de velocidades. Fijaos que es equivalente a lo que se hace siempre en magnetismo: la divergencia del campo magnético es siempre nula, y su rotacional es proporcional a la densidad de corriente, que una vez conocida nos permite determinar el campo magnético. Supongamos ahora además que la vorticidad al inicio es nula. De ser así, por la ecuación (31) su derivada parcial respecto al tiempo también lo es, por lo que permanecerá constante e igual a cero. Por tanto, un fluido que empiece con rotación cero, permanecerá así (ya indagaremos en la vorticidad, pero es sabido que el rotacional de un campo vectorial indica la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto). Ahora el paralelismo con el electromagnetismo es aun más claro si cabe:

$$\begin{aligned}<br /> \vec\nabla \vec v =& 0 \\<br /> \vec \nabla \times \vec v =& 0<br /> \end{aligned}<br />$$

que son las ecuaciones para los campos electrostático y magnetostático en el espacio libre. Y si hay algo bonito de que dos ecuaciones tengan la misma forma funcional, es que poseen la misma solución (ecuaciones iguales, soluciones iguales decía Feynman). Como ejemplo de este caso, se puede tratar de resolver el flujo de un fluido alrededor de un cilindro. ¿Y pensaréis: qué tendrá eso que ver con que ecuaciones iguales poseen soluciones iguales? Pues que todo estudiante de Física ha debido de resolver en algún curso de electromagnetismo mediante el método de las imágenes el campo eléctrico en las inmediaciones de una esfera o un cilindro conductor cuando este es sumergido en un campo uniforme. La solución allí encontrada es perfectamente extrapolable, teniendo cuidado con las condiciones de contorno (para más información, véase el capítulo 12 del segundo volumen de las lectures de Feynman, sección 5).

Y esto último nos lleva al último punto de la entrada: las condiciones de contorno.
Si el fluido fluye en contacto con una superficie fija, y recalquemos lo de fija, es obvio que la componente normal de la velocidad (normal a la superficie fija) debe ser nula: $\vec v\hat n=v_n=0 \: \forall \vec x\in S$, con $S$ dicha superficie.

Para dos fluidos en contacto, la velocidad (normal de nuevo) de uno debe ser igual a la del otro, es decir, si son inmiscibles, al moverse uno no pueden mezclarse y para ello sus velocidades deben ser iguales (tampoco deben dejar un hueco vacío, y por ello de nuevo el que sean iguales). Además, aplicando la tercera ley de Newton, las fuerzas de uno sobre el otro deben ser iguales y opuestas. Fijándonos en un área infinitesimal de contacto:

$$d\vec F_{12}=-d\vec F_{21}\leftrightarrow -p_1 \hat n_1 dA=p_2 \hat n_2 dA=-p_2 \hat n_1 A$$

(se ha usado en el último paso que las normales son opuestas), de donde se extrae que:

$$p_1=p_2$$