Mecánica de Fluidos IV. Algunas consideraciones termodinámicas y balance de momento.

[sater]

Hoy veremos algunas aspectos sobre termodinámica aplicado a la dinámica de los fluidos en la primera parte de esta entrada, y en la segunda la ecuación de continuidad para el momento de una región del fluido.

Consideraciones termodinámicas:

Sea $\Delta m$ una porción del fluido cuya energía interna específica es $u$ (como veréis, la costumbre es utilizar las letras minúsculas cuando hablemos de magnitudes específicas). Si derivamos la energía interna de dicha porción:

$$\dfrac{d(\Delta m u)}{dt}=u\dfrac{d\Delta m}{dt}+\Delta m \dfrac{d u}{dt}=T\dfrac{d(\Delta m s)}{dt}-p\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\Delta m}{\rho}\right)=\Delta m\left[T\dfrac{d s}{dt}-p\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{\rho}\right)\right]$$

Ahora bien, tras la primera igualdad, la derivada de la masa en esa porción es nula por continuidad como ya vimos, y en la tercera igualdad se ha aplicado simplemente el 1er principio de la termodinámica cambiando el calor $\delta Q$ por $T dS$. De nuevo en el último paso se usa que la masa de la porción considerada es constante y "sale" de las derivadas. De aquí se extrae (eliminando los diferenciales de tiempo) que:

$$du=T ds-p d(1/\rho)=T ds+\dfrac{p}{\rho^2} d\rho$$

Dicha ecuación será válida para procesos reversibles.

Fijaos que la deducción es igual de valida si a la porción de masa le hubiéramos aplicado al inicio el gradiente o la derivada parcial respecto al tiempo, por lo que lo anterior podría haber sido también:

$$\begin{aligned}<br /> \vec\nabla u = & T\vec\nabla s+\dfrac{P}{\rho^2}\vec\nabla \rho \\<br /> \partial_t u = & T\partial_t s + \dfrac{P}{\rho^2}\partial_t \rho<br /> \end{aligned}<br />$$

Ahora supongamos que el fluido evoluciona de manera adiabática. En tal caso $\dfrac{ds}{dt}=0$ o lo que es equivalente $ds=0$. De nuevo recalcar que de ser adiabático, se cumple lo anterior pero no se satisface automáticamente que $\vec\nabla s=0$ o que $\partial_t s=0$. Es más, estas dos cantidades se relacionan mediante

$$\dfrac{ds}{dt}=\partial_t s + \vec v\cdot\vec\nabla s=0$$

Si el flujo es adiabático entonces se satisface por tanto que $du=\dfrac{P}{\rho^2} d\rho$.

Si queremos involucrar a la entalpía, ya sabemos que se relaciona con la energía interna mediante una transformada de Legendre. De forma explícita, $w=u+P/\rho$. En nuestra ecuación (2) vemos que podemos sumar y restar $\dfrac{dP}{\rho}-\dfrac{1}{\rho} dP$, pasar el segundo sumando al miembro izquierdo y agrupar dentro del diferencial, y en el miembro derecho agrupar el término que nos sobra para que resulte en:

$$d\left(u+\dfrac{P}{\rho}\right)=d w= T ds+\dfrac{1}{\rho} dP$$

Para un flujo adiabático $d w=- \dfrac{1}{\rho} dP\leftrightarrow \vec\nabla w=-\vec\nabla p /\rho$, por lo que en la ecuación de Euler nos queda:

$$\partial_t \vec v + \vec v\cdot\vec\nabla \vec v=-\vec\nabla w + \vec b$$

y ya es directo que tomando rotacionales nos queda una ecuación para el campo de velocidades (que se simplifica aun más si el campo externo $\vec b$ se derivase de un potencial).

Con esto finalizamos las consideraciones termodinámicas como tal.

Ocupémonos ahora de un tema interesante. Veamos el balance de momento para una región del fluido. Llegaremos a una expresión para este en función del tensor de energía momento del fluido (por ahora, de un fluido ideal). Si habéis estudiado algo de relatividad, os sonará pues suele usarse mucho.

Para nuestra región, su densidad de momento lineal es $\rho \vec v$. De ahora en adelante para los índices libres usaremos notación tensorial, es decir, un vector $\vec v$ se escribirá como $v_i$. Las derivadas parciales que vayan con los índices $i$ o $j$ se han de entender como gradientes o divergencias según sobre qué actúen. El subíndice $t$ para las derivadas parciales se sigue dejando para las derivadas respecto al tiempo, y se debe tener especial cuidado a la hora de contraer índices, por eso para este primer contacto no usaremos el convenio de suma de Einstein pues puede liar algo las cosas.

Derivando la densidad de momento lineal de nuestra región:

$$\dfrac{d}{dt}\left(\rho v_i\right)=\dfrac{d\rho}{dt} v_i+\rho \dfrac{d v_i}{dt}=-\rho \sum_j \partial_j v_j v_i-\partial_i p+\rho b_i$$

Para llegar a la expresión tras la segunda igualdad se han usado las ecuaciones de continuidad y de Euler.

Manipulemos ahora el primer miembro:

$$\dfrac{d}{dt}(\rho v_i)=\partial_t(\rho v_i)+\sum_j v_j \partial_j (\rho v_i)$$

Si ahora igualamos (7) y (8):

$$\partial_t (\rho v_i)+\sum_j v_j \partial_j (\rho v_i)=-\rho \sum_j \partial_j v_j v_i - \partial_i p+\rho b_i$$

Pasando el primer término del segundo miembro al primer miembro y agrupando $\sum_j v_j \partial_j (\rho v_i)+\rho sum_j \partial_j v_j v_i=\sum_j partial_j (\rho v_i v_j)$, nos queda que:

$$\dfrac{\partial (\rho v_i)}{\partial t}+\sum_j \partial_j (\rho v_i v_j + \delta_{ij} p)=\rho b_i$$

donde la divergencia de la presión se ha incorporado al sumatorio con la ayuda de la delta de Kronecker. Definimos finalmente el tensor $T_{ij}=\rho v_i v_j + \delta_{ij} p$ como el tensor de flujo de momento lineal, o como en relatividad se le conoce el tensor de energía momento. Por tanto la "ecuación de continuidad" para el momento es:

$$\partial_t(\rho v_i)+\sum_j \partial_j T_{ij}=\rho b_i$$

que guarda cierta similitud con la ecuación de continuidad de la masa:

$$\partial_t \rho + \sum_j \partial_j (\rho v_j)=0$$

En relatividad, la expresión para este tensor depende de la métrica y adopta la forma $T^{\mu\nu}=\rho u^{\mu} u^{\nu}+g^{\mu \nu} p$.

Veamos ahora si nos siguen cuadrando las cosas: sea una región $W$ fija. Si derivamos el momento lineal que posee, debemos volver a las expresiones que ya obtuvimos más un término adicional que nos dé cuenta del flujo de partículas a través de su superficie $\partial W$, pues ahora la región es fija.

$$\dfrac{d\vec P}{dt}=\dfrac{d}{dt}\int_{W} \rho \vec v dV=\int_W \dfrac{\partial (\rho \vec v)}{\partial t} dV=-\sum_j \oint_{\partial W} \rho v_i v_j dA_j - \oint_{\partial W} p dA_i + \int_{W} \rho b_i dV$$

Para obtener el último miembro solo se ha usado la ecuación de continuidad del momento más el hecho de que la integral de la divergencia pasa a una integral de superficie mediante el uso del teorema de Gauss. Ya tenemos prácticamente la expresión que deseábamos, salvo por el primer término. Veamos porqué decimos que debe dar cuenta del flujo de partículas:

Sea $\vec v$ la velocidad del fluido en los puntos de la superficie. Dicha velocidad se puede descomponer en una componente paralela a la normal a la superficie, es decir, en la dirección de $d\vec A$ y otra componente perpendicular a esta, en el plano tangente a la superficie en ese punto. Escribimos que $\vec v=\vec v_{\bot}+\vec v_{\|}$. Obviamente, el producto de la componente paralela al plano tangente con el vector diferencial de área es nulo, por lo que resulta en:

$$\dfrac{d\vec P}{dt}=-\oint_{\partial W} \rho \vec v_{\bot} (\vec v_{\bot} \cdot d\vec A)-\oint_{\partial W} p d\vec A+\int_{W} \rho \vec b dV$$

y claramente, el primer término representa el flujo de partículas de la región.

Lo que hoy hemos encontrado es sumamente interesante, pues aunque sea el balance de momento para un fluido ideal podremos generalizarlo para fluidos viscosos sin más que añadir un término para la viscosidad.

En la próxima entrada acabaremos lo que nos queda previo al paso a fluidos viscosos. Veremos el balance de energía, deduciremos a partir de éste la ecuación de Bernoulli (aunque comentaremos otras vías), veremos el teorema de la circulación de Thomsom (sí, el archiconocido Lord Kelvin) -y a propósito comentaremos algo sobre el modelo que propuso en su día de nudos con su visión del mundo atómico, y entenderéis porque este teorema le motivo a proponerlo- . Hablaremos de flujo de tipo potencial, y veremos la integral primera de Euler. Quizá muchas cosas pero prefiero verlas en una sola entrada y que quede algo larga a tener dos cortas antes de empezar con la dinámica de los fluidos reales.

Como siempre, comentad cualquier error que encontréis.