Mecánica de Fluidos V. Balance de energía y ecuación de Bernoulli.

[sater]

Ya comenté en la entrada anterior que esta sería la última entrada antes de fluidos viscosos. Mentí. Tras escribirla, he visto que queda demasiado larga y no quiero aburriros de más, así que la partiré en dos para poder comentar más cosas en la siguiente sobre el modelo de vórtices de Lord Kelvin.

Sin más dilación, vayamos a ello.

Balance de energía:

Sea un elemento de volumen fijo cualquiera $W$. Supongamos además que el flujo tiene vorticidad nula y que es isentrópico (su evolución, claro está). La densidad de energía en el contenida será:

$$\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho u$$

con $u$ la energía interna específica.
Es la densidad de energía pues su integración sobre el volumen da la energía total en él contenida. Dado que el volumen es fijo ya sabemos que la variación temporal de la energía en él será igual a la integral de la derivada parcial respecto al tiempo del integrando. Si la energía total la denotamos por $E$

$$\dfrac{dE}{dt}=\int_{W} \dfrac{\partial}{\partial t}\left( \dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho u \right) d^3 x$$

Veamos pues que sacamos de dicha derivada temporal.

$$\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{1}{2}\rho v^2\right)=\dfrac{1}{2}v^2 \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\rho\vec v \dfrac{\partial \vec v}{\partial t}$$

donde para el último sumando ya se ha realizado la derivada de $\vec v\:^2$.

Ahora bien, ya vimos que $\frac{\partial \rho}{\partial t}=- \vec\nabla(\rho \vec v)$ y que:

$$\dfrac{d\vec v}{dt}=\dfrac{\partial \vec v}{\partial t}+ \vec v\cdot\vec \nabla \vec v=-\dfrac{\vec\nabla p}{\rho}$$

(fijaos que en la ecuación de Euler me he dejado fuera el campo externo, en caso de haberlo su inclusión posterior no representa complicación alguna, y como se suele decir, se deja como ejercicio para el lector)


Por tanto, despejando la derivada parcial de la velocidad e introduciéndola en (4) obtenemos:

$$\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{1}{2}\rho v^2\right)=-\dfrac{1}{2} v^2 \vec\nabla(\rho\vec v)-\vec v \cdot \vec \nabla p-\rho\vec v(\vec v\cdot\vec\nabla) \vec v$$

Ahora usaremos que, si la vorticidad es nula (es decir, el rotor de la velocidad es nulo), se puede escribir:

$$\vec v(\vec v \cdot \vec \nabla \vec v)=\dfrac{1}{2}\vec v \cdot \vec\nabla v^2$$

Por otro lado, de nuestras consideraciones termodinámicas $\vec\nabla p=\rho\vec\nabla w-\rho T \vec\nabla s$.

Con todo ello:

$$\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{1}{2}\rho v^2\right)=-\dfrac{1}{2} v^2 \vec \nabla (\rho\vec v) - \rho \vec v \cdot \vec\nabla \left(\dfrac{1}{2} v^2 + w\right) + \rho T \vec v\cdot\vec \nabla s$$

Ahora calculemos $\partial_t (\rho u)$. Para ello, apañémonos antes con nuestras relaciones diferenciales la expresión que nos interesa:

$$d(\rho u)=u d\rho+\rho du=\left(u+\dfrac{P}{\rho}\right) d\rho-\dfrac{P}{\rho} d\rho+\rho \left(T ds+\dfrac{P}{\rho^2} d\rho \right)=w d\rho+\rho T ds$$

Veamos qué hemos hecho aquí. Para obtener la entalpía en el primer sumando, hemos sumado y restado el término $\dfrac{P}{\rho} d\rho$. De la suma, sale la entalpía. La resta no aparece porque se ha cancelado con el último sumando de la penúltima igualdad, el cual estaba ahí por haber puesto $T ds+\dfrac{P}{\rho^2} d\rho$ donde ponía $d u$ (para refrescar estas expresiones, véase el repaso de termodinámica)

Como ya comentamos, las mismas consideraciones y cambios entre variables habrían valido si en vez de usar diferenciales hubiésemos usado derivadas parciales respecto al tiempo (o si lo preferís, estamos dividiendo por $dt$, y como nuestro volumen es fijo, la derivada respecto al tiempo es parcial pues los argumentos de nuestras funciones no evolucionan en el tiempo), por lo que:

$$\dfrac{\partial(\rho u)}{\partial t}= w \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\rho T \dfrac{\partial s}{\partial t}=-w \vec\nabla(\rho\vec v)-\rho T \vec v\cdot\vec\nabla s$$

En la ecuación anterior se ha usado la ecuación de continuidad y que, si el fluido es isentrópico, $\dfrac{ds}{dt}=\dfrac{\partial s}{\partial t}+ \vec v\vec\nabla s=0$ de donde se despeja la derivada parcial y se sustituye.

Finalmente, encontramos que para un fluido iséntrópico:

$$\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{1}{2}\rho v^2 +\rho u\right)=- \left(\dfrac{1}{2} v^2 + w\right) \vec \nabla(\rho \vec v)-\rho \vec v\cdot\vec \nabla \left(\dfrac{1}{2} v^2+w\right)=-\vec\nabla \left[ \rho \vec v\left(\dfrac{1}{2} v^2+w\right)\right]$$

Si volvemos a la ecuación (2):

$$\dfrac{dE}{dt}=\int_{W} -\vec\nabla \left[ \rho \vec v\left(\dfrac{1}{2} v^2+w\right)\right] dV=- \oint_{\partial W}\rho \vec v\left(\dfrac{1}{2} v^2+w\right) d\vec A$$

La anterior expresión tiene fácil interpretación: dado que estamos viendo el cambio de energía en un volumen fijo, la última integral ha de ser por tanto la cantidad de energía que fluye hacia el exterior de este volumen en la unidad de tiempo. Por ello

$$\rho \vec v \left(\dfrac{1}{2} v^2+w\right)$$

se denomina densidad de flujo de energía.

Fijaos que si se deshace el cambio de nuevo de la entalpía en favor de la energía interna, resultan dos integrales:

$$-\oint_{\partial W} \rho\vec v\left(\dfrac{1}{2} v^2+u\right)d\vec A-\oint_{\partial W} p \vec v\cdot d\vec A$$

El primer término da cuenta de la energía cinética más la interna transportada por la masa de fluido a través de la superficie en la unidad de tiempo, mientras que el segundo es el trabajo realizado por la fuerza de presión sobre el fluido encerrado por la superficie $\partial W$.

Para aquel lector que haya realizado el ejercicio propuesto, demos las expresiones a las que debe haber llegado.

$$\dfrac{\partial}{\partial t}\left[\rho\left(\dfrac{1}{2} v^2 + u\right)\right]+\vec\nabla\left[ \rho\vec v \left( \dfrac{1}{2} v^2 + w \right)\right]=\rho \vec v\cdot\vec b$$

que en caso de que el campo externo derive de un potencial $\phi$ y que sea estacionario:

$$\dfrac{\partial}{\partial t}\left[\rho\left(\dfrac{1}{2} v^2 + u\right)\right]+\vec\nabla\left[ \rho\vec v \left( \dfrac{1}{2} v^2 + w + \phi \right)\right]=0$$

De esta última ecuación surge directamente la ecuación de Bernoulli: si el flujo es estacionario, (las magnitudes no son funciones explícitas del tiempo), la ecuación de continuidad es simplemente $\vec\nabla (\rho \vec v)=0$. En (15) el primer término es nulo por ser la derivada parcial respecto al tiempo (y estamos en régimen estacionario), mientras que del segundo por la ecuación de continuidad se nos queda:

$$\rho \vec v\cdot\vec\nabla\left(\dfrac{1}{2} v^2 +w + \phi\right)=0$$

Expresión en la cual podemos eliminar la densidad si suponemos que es no nula (cosa obvia).

La contracción (es decir, el producto escalar) de $\vec v$ con $\vec \nabla$ es la derivada direccional a lo largo de la dirección de la velocidad. Es útil ahora hablar del concepto de línea de corriente. Estas líneas poseen la propiedad de que la tangente a ellas en cualquier punto indica la dirección de la velocidad en dicho punto, quedando determinadas por el sistema de ecuaciones diferenciales:

$$\dfrac{dx}{v_x}=\dfrac{dy}{v_y}=\dfrac{dz}{v_z}$$

(igual que las líneas de fuerza de un campo vectorial cualquiera)

En caso de flujo estacionario, las líneas de corriente no varían con el tiempo y coinciden con la trayectoria de las partículas fluidas, lo que deja de ser cierto si no es estacionario.

Dicho esto, para un flujo estacionario la derivada direccional $\vec v\vec\nabla$ es como una derivada respecto a un parámetro $l$ a través del cual se recorra la línea de corriente (que no deja de ser una curva que podemos parametrizar). Luego la ecuación de Bernoulli surge de que la derivada a lo largo de la línea de corriente sea nula, es decir:

$$\dfrac{1}{2} v^2 + w= C$$

con $C$ una constante para una línea de corriente dada.

En caso de haber un campo externo que derive de un potencial $\dfrac{1}{2} v^2 + w+ \phi= C$

De ser este campo el gravitatorio: $\phi=gz$

Como además $w=u+P/\rho$

$$\dfrac{1}{2} v^2 + u + \dfrac{P}{\rho} + gz=\text{constante a lo largo de una l\'inea de corriente}$$

Que es ya una forma más reconocible de la ecuación de Bernoulli (totalmente reconocible tal vez si, de ser la densidad constante, multiplicamos por ella en ambos miembros para dos puntos dados en la susodicha línea)

Pero claro, esta no es la única forma de deducirla, y a veces sucede que es mejor llegar a una expresión dada por varios caminos, para asegurarse de que lo que se hace es correcto.

Para un fluido estacionario, la ecuación de Euler (manipulándola) se puede escribir:

$$\vec\Omega \times \vec v+\dfrac{1}{2} \vec\nabla v^2=\dfrac{-\vec\nabla p}{\rho}-\vec\nabla \phi$$

donde ya hemos supuesto el campo externo como irrotacional (que deriva de un potencial, vaya).

Ahora bien, si el fluido es irrotacional (su vorticidad $\vec \Omega$ es nula) además de estacionario nos queda que:

$$\vec\nabla\left( \dfrac{P}{\rho}+\dfrac{1}{2} v^2 + \phi\right)=0$$

de donde

$$\dfrac{P}{\rho}+\dfrac{1}{2} v^2 + \phi=\text{constante para todo el fluido}$$

Hemos llegado a una conclusión también muy útil para el caso de que además el fluido no presente vorticidad por el mero hecho de probar a deducir la misma ecuación desde distinto punto de partida. Por supuesto, de aquí también se obtiene la ecuación de Bernoulli para la línea de corriente únicamente, pues al proyectar la ecuación con la vorticidad aun sobre el vector velocidad, dicho término desaparece por ser ortogonal, pero pagamos el precio de que el operador nabla contraído con el vector velocidad nos dé una derivada direccional.

Fijaos que en la primera deducción ya establecimos que la vorticidad fuese nula, y aun así hemos llegado a la ecuación para la línea de corriente. Otra vez nos damos cuenta de nos hemos adelantado en nuestras conclusiones. Hicimos tal suposición para no complicar la expresión resultante (la identidad vectorial completa es más complicada, incluyendo el rotacional de la velocidad, i.e. la vorticidad). Pero ni si quiera hacía falta, pues la vorticidad se habría contraído con la velocidad y se habrían anulado por ser ortogonales. Es decir, por dicha vía se llega a la constancia para una línea de corriente, pero suponer que la vorticidad era nula es desaprovechar dicha suposición, como hemos comprobado al utilizar la ecuación de Euler para demostrar la ecuación de Bernoulli por otra vía.

Como comentario, la ecuación de Bernoulli suele ser la ecuación a la que más jugo se saca en los cursos básicos de hidrodinámica, pues es muy útil, y posee un significado físico profundo: representa simple y llanamente la conservación de la energía en el fluido. Para una deducción por esta vía se puede consultar cualquier libro de física general, entre otros el Sears, el Burbano y como no, el segundo volumen de las lectures on physics de Feynman.

Ya sí que sí, la siguiente entrada será la última previa a fluidos viscosos. En ella demostraremos el teorema de la constancia de la circulación de Kelvin, hablaremos de su modelo y porqué en su momento le pareció el camino correcto para llegar a un modelo atómico, y veremos que entendemos por flujo potencial.