Existe una pregunta, pobremente formulada e ideada seguramente por algún chistoso de ocasión, y generalmente planteada a los más pequeños, que dice:

¿Qué pesa mas: un kilogramo de plomo o un kilogramo de pluma?

En realidad, en vez de decir un kilogramo, en la pregunta original se dice un «kilo»; pero yo, fiel a mis principios explicativos, me niego a transcribirla tal cual se recita. Pues el prefijo kilo por sí solo no indica peso ni masa. Esta cuestión tan simple en apariencia encierra una serie de conceptos fundamentales y profundos de la física. Porque, mal que le pese al que la formula (siempre tratando de hacer caer al despr evenido en el chiste fácil), la respuesta es que no pesan lo mismo.
Para empezar deberíamos reformular la pregunta para extraerla de una nube de incertidumbre que la rodea. Porque, si bien se sobreentiende que se trata de un kilogramo masa, debería explicitarlo diciendo: una masa de un kilogramo, por ejemplo. Igualmente no se dice nada de las condiciones reinantes en el momento de hacer la pesada ni de la posición que han de tener los objetos. Dos alternativas podrían ser:

Primera pregunta: Dos objetos de igual masa y diferente densidad, ¿pesan lo mismo en condiciones normales?

O, lo que sería similar:

Segunda pregunta: ¿Tienen igual masa dos objetos de diferente densidad que registran un peso igual en condiciones normales?

La primera de estas dos opciones es aparentemente la que pretende formular la original. Dediquémonos, pues, a responderla.
Primero debemos aclarar que en el vacío y bajo la influencia de algún campo gravitatorio (sin tener en cuenta efectos relativistas o cuánticos) dos masas iguales poseen una fuerza peso igual. Pero, en las condiciones que se suelen mover las personas, una de las tantas variables que intervienen en el peso de un objeto es el empuje generado por la masa atmosférica. En cuerpos relativamente densos como personas u objetos cotidianos esta fuerza de empuje es despreciable con respecto a la fuerza peso del cuerpo. Pero, cuando se trata de globos aerostáticos, por ejemplo, el empuje atmosférico se hace evidente, de otra forma no se elevarían. Porque la fuerza de empuje que recibe un cuerpo depende del volumen del mismo cuerpo: a mayor volumen, mayor fuerza de empuje. Y si ese volumen contiene poca masa, como es el caso de los objetos de baja densidad; el peso de ellos y el empuje comienzan a ser valores equiparables.
Entonces, concentrémonos en la primera pregunta y digamos que tenemos dos cuerpos de igual masa, uno de los cuales, el plomo, tiene una densidad de 11,36 g/cm3 y el otro, la pluma, una densidad de aproximadamente 0,4 g/cm3. El peso que registran dichos objetos puestos en un dinamómetro (y acotándonos sólo al empuje y la fuerza peso) será:



Se ve que a la fuerza peso real (mg) se le resta el empuje (densidad del aire x gravedad x volumen del cuerpo), pues es un vector que posee igual dirección pero sentido opuesto.
Reescribimos estas ecuaciones:



Y luego reordenemos:



Y como en el enunciado se dice que las masas son iguales, podemos poner:



Ahora podemos reemplazar por los valores numéricos (pasados a las unidades del sistema MKS y simplificando las unidades) que nos dan como dato:





Es decir, si la masa de pluma registra en el dinamómetro 1 kgf, la misma masa de plomo registrará 1,003 kgf, 3 gramos más.
De aquí que no pesen lo mismo un kilogramo masa de plomo y un kilogramo masa de pluma. De forma muy similar se puede demostrar la segunda pregunta formulada. Siempre es conveniente al demostrar partir de una generalidad y reemplazar por los valores particulares al final. Pues de esa manera se pueden cambiar los parámetros numéricos de manera sencilla. Por ejemplo, si en vez de plomo ponemos platino y en vez de pluma ponemos espuma de estireno (cuya densidad es 0,1 g/cm3), el resultado será ahora:



Un valor completamente medible en el laboratorio.
Así como se trabajó sólo con las variables peso y empuje, se pueden agregar otras que, si bien modifican los resultados de manera más ínfima; estos pueden ser apreciados y perfectamente medidos con instrumentos de precisión. Por ejemplo, una misma masa pesará diferente cuando la temperatura o la presión reinantes cambien, porque el volumen del cuerpo –y por lo tanto el empuje generado por la atmósfera– se ven afectados por la presión y la temperatura. Otra variable interesante a incluir es la fuerza centrífuga/centrípeta que se origina a causa de la rotación de la Tierra. Como esta fuerza es de distinto sentido que la fuerza peso, actuará de manera similar a la fuerza de empuje. Y así podríamos seguir ampliando el problema hasta incluir, en última instancia, los efectos cuánticos y relativistas.
En definitiva, la próxima vez que le formulen esa pregunta, y para no tener que dar una explicación matemática similar a la propuesta, limítese a sonreír y a marcharse sin demoras.