Ecuaciones de 2º grado y bicuadradas

[Ulises7]

Bueno a pesar de que la mayoria de usuarios de este foro ( por no decir todos ) conocen a la perfección lo que expondré a continuación, lo haré porque quiero contribuir a exponer información útil en este caso en el ámbito de las matemáticas sobre un tema básico pero esencial como son las ecuaciones de 2º grado y que requiere su total dominio ya que en física son imprescindibles, va dirigido sobre todo para estudiantes de secundaria para reafianzar conceptos y que vean que las matemáticas no es magia ( matemagia ) sino que tiene un rigor y una elegancia que muchas otras disciplinas envidian ( o deberian hacerlo ).


Bueno empecemos, la definición es la siguiente:

Una ecuación es de segundo grado con una incógnita si, una vez efectuadas las operaciones y reducido los términos parecidos, el término de máximo grado es 2.

Son de la forma:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

$( a, b, c \in {\mathrm R} )$ y $a \neq 0$

Si $( b, c ) \neq 0$ entonces es Completa.

Si $b$, $c$ o $b$ y $c = 0$ entonces es Incompleta.



Ecuaciones Completas:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Ecuaciones Incompletas:

$$ax^2 = 0$$

$$ax^2 + c = 0$$

$$ax^2 + bx = 0$$

Resolución:

Tipo:

1)

$$ax^2 = 0$$

$$x^2 = \dfrac {0}{a}$$

$$x^2 = 0$$

$$x = \sqrt {0}$$

$$x = 0$$

2)

$$ax^2 + c = 0$$

$$ax^2 = -c$$

$$x^2 = \dfrac{-c}{a}$$

$$x = \pm\sqrt{\dfrac{-c}{a}}$$

donde ( $\dfrac{-c}{a} > 0$ )


3)

$$ax^2 + bx = 0$$

$$x ( ax + b ) = 0$$

$$x = 0$$

y $ax + b = 0$

$$ax = -b$$

$$x = \dfrac {-b}{a}$$

4)

$$ax^2 + bx + c = 0$$

$$ax^2 + bx = -c$$

$$4ax^2 + 4bx = -4c$$

$$4a^2x^2 + 4abx = -4ac$$

$$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 -4ac$$

$$( 2ax + b )^2 = b^2 -4ac$$

$$2ax + b = \pm\sqrt {b^2 -4ac}$$

$$2ax = -b \pm\sqrt {b^2 -4ac}$$

$$\boxed{\boxed{x = \dfrac{-b \pm\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}}}$$

Bueno por fin llegamos a esta famosa ecuación y como veis no sale de la nada , en ocasiones puede que os pidan llegar a la fórmula general a partir de esta solución, muy sencillo solo tenéis que repetir estos pasos pero a la inversa .

Ahora vamos a analizar el número de soluciones, la clave está en el discriminante ( $b^2 - 4ac$ ):

Si $b^2 - 4ac > 0$ entonces tenemos 2 soluciones ( opuestas entre si una + y otra - ):

$$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

$$x_2 = \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

Si $b^2 - 4ac = 0$ entonces tenemos 1 solución ( doble )

$$x_1 = \dfrac {-b}{2a}$$

$$x_2 = \dfrac {-b}{2a}$$

Si $b^2 - 4ac < 0$ entonces no tiene solución ( En $\mathrm R$ )

Bueno pues eso a partir del discriminante se puede saber el número de soluciones de la ecuación sin necesidad de desarrollar sus soluciones.

Ahora vamos a trabajar con las soluciones, intentando obtener resultados interesantes, sabemos que tenemos 2 pues vamos a sumar los resultados y también multiplicarlos para ver que obtenemos:

Sabemos que:

$$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

$$x_2 = \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

Pues $S = x_1 + x_2$

$$S = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

$$S = \dfrac{-2b}{2a}$$

$$\boxed{S = \dfrac{-b}{a}}$$

El producto será:

$$P = x_1 \cdot x_2$$

$$P = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a} \cdot \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

$$P = \dfrac {b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2}$$

$$\boxed{P = \dfrac {c}{a}}$$

Ahora cogemos la forma básica:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

y la dividimos por $a$:

$$x^2 + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{c}{a} = 0$$

y sabiendo los valores de $S = \dfrac {-b}{a}$ y $P = \dfrac{c}{a}$:

$$\boxed{\boxed{x^2 - Sx + P = 0}}$$

Bonita forma ¿verdad? ( Esta expresión es útil cuando tenemos por ejemplos las soluciones [$x_1, x_2$] y queremos obtener la forma que tendria original, vamos empezar por el final )

Finalizemos con las ecuaciones bicuadradas, son del tipo:

$$ax^4 + bx^2 + c = 0$$

Se pueden convertir fácilmente en cuadráticas realizando este sencillo paso:

$$t = x^2$$

entonces:

$$at^2 + bt + c = 0$$

y asi tenemos la famosa ecuación de 2º grado.

Aplicamos la teoria ya conocida:

$$t_1 = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$t_2 = \dfrac{-b - \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$$

pues:

$$t_1 = x^2$$

$$x = \pm\sqrt{t_1}$$

$$t_2 = x^2$$

$$x = \pm\sqrt{t_2}$$

$$x_1 = \sqrt{t_1}$$

$$x_2 =-\sqrt{t_1}$$

$$x_3 = \sqrt{t_2}$$

$$x_4 = -\sqrt{t_2}$$

Siendo posible un máximo de 4 soluciones ( ya que es de grado 4º, como demostró el gran Gauss... )


Bueno ya he acabado, espero que sea útil y que aproveche , debo dar las gracias a arreldepi que me ha ayudado en algunas cosas con el $Latex$ sino no hubiera podido escribir algunas ecuaciones a la perfección...


saludos


Ulises

[baustian]

Hola que tal con respecto a los números complejos, yo estudio ingenieria electronica y se usa ampliamente. Por ejemplo se utiliza en ondas electromagneticas para trabajo con antenas, tambien en analisis de señales.
Los numeros complejos se utilizan mucho para todo lo relacionado con las redes monofasica y trifasica, o para el analisis de potencias activa, reactiva y aparente de la red electrica que llega a tu hogar o una empresa por ejemplo.
y etc, etc, etc, etc.
Como ves hay muchas aplicaciones, te podría decir muchas más pero es para darte una idea nada mas.
Espero que te haya servido, saludos.

escribe una ecuacion bicuadrada cuyas soluciones sean 3,-3,1 y -1 como se haría?

[Ulises7]

escribe una ecuacion bicuadrada cuyas soluciones sean 3,-3,1 y -1 como se haría?

Deberias crear un hilo en el foro con la duda correspondiente, de momento decirte que una parte de lo que he expuesto trata sobre las soluciones de las cuadradas no de las bicuadradas.


Saludos