Ecuaciones de 2º grado y bicuadradas

[Ulises7]

Bueno a pesar de que la mayoria de usuarios de este foro ( por no decir todos ) conocen a la perfección lo que expondré a continuación, lo haré porque quiero contribuir a exponer información útil en este caso en el ámbito de las matemáticas sobre un tema básico pero esencial como son las ecuaciones de 2º grado y que requiere su total dominio ya que en física son imprescindibles, va dirigido sobre todo para estudiantes de secundaria para reafianzar conceptos y que vean que las matemáticas no es magia ( matemagia ) sino que tiene un rigor y una elegancia que muchas otras disciplinas envidian ( o deberian hacerlo ).


Bueno empecemos, la definición es la siguiente:

Una ecuación es de segundo grado con una incógnita si, una vez efectuadas las operaciones y reducido los términos parecidos, el término de máximo grado es 2.

Son de la forma:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

$( a, b, c \in {\mathrm R} )$ y $a \neq 0$

Si $( b, c ) \neq 0$ entonces es Completa.

Si $b$, $c$ o $b$ y $c = 0$ entonces es Incompleta.



Ecuaciones Completas:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Ecuaciones Incompletas:

$$ax^2 = 0$$

$$ax^2 + c = 0$$

$$ax^2 + bx = 0$$

Resolución:

Tipo:

1)

$$ax^2 = 0$$

$$x^2 = \dfrac {0}{a}$$

$$x^2 = 0$$

$$x = \sqrt {0}$$

$$x = 0$$

2)

$$ax^2 + c = 0$$

$$ax^2 = -c$$

$$x^2 = \dfrac{-c}{a}$$

$$x = \pm\sqrt{\dfrac{-c}{a}}$$

donde ( $\dfrac{-c}{a} > 0$ )


3)

$$ax^2 + bx = 0$$

$$x ( ax + b ) = 0$$

$$x = 0$$

y $ax + b = 0$

$$ax = -b$$

$$x = \dfrac {-b}{a}$$

4)

$$ax^2 + bx + c = 0$$

$$ax^2 + bx = -c$$

$$4ax^2 + 4bx = -4c$$

$$4a^2x^2 + 4abx = -4ac$$

$$4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 -4ac$$

$$( 2ax + b )^2 = b^2 -4ac$$

$$2ax + b = \pm\sqrt {b^2 -4ac}$$

$$2ax = -b \pm\sqrt {b^2 -4ac}$$

$$\boxed{\boxed{x = \dfrac{-b \pm\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}}}$$

Bueno por fin llegamos a esta famosa ecuación y como veis no sale de la nada , en ocasiones puede que os pidan llegar a la fórmula general a partir de esta solución, muy sencillo solo tenéis que repetir estos pasos pero a la inversa .

Ahora vamos a analizar el número de soluciones, la clave está en el discriminante ( $b^2 - 4ac$ ):

Si $b^2 - 4ac > 0$ entonces tenemos 2 soluciones ( opuestas entre si una + y otra - ):

$$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

$$x_2 = \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

Si $b^2 - 4ac = 0$ entonces tenemos 1 solución ( doble )

$$x_1 = \dfrac {-b}{2a}$$

$$x_2 = \dfrac {-b}{2a}$$

Si $b^2 - 4ac < 0$ entonces no tiene solución ( En $\mathrm R$ )

Bueno pues eso a partir del discriminante se puede saber el número de soluciones de la ecuación sin necesidad de desarrollar sus soluciones.

Ahora vamos a trabajar con las soluciones, intentando obtener resultados interesantes, sabemos que tenemos 2 pues vamos a sumar los resultados y también multiplicarlos para ver que obtenemos:

Sabemos que:

$$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

$$x_2 = \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

Pues $S = x_1 + x_2$

$$S = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

$$S = \dfrac{-2b}{2a}$$

$$\boxed{S = \dfrac{-b}{a}}$$

El producto será:

$$P = x_1 \cdot x_2$$

$$P = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a} \cdot \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}$$

$$P = \dfrac {b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2}$$

$$\boxed{P = \dfrac {c}{a}}$$

Ahora cogemos la forma básica:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

y la dividimos por $a$:

$$x^2 + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{c}{a} = 0$$

y sabiendo los valores de $S = \dfrac {-b}{a}$ y $P = \dfrac{c}{a}$:

$$\boxed{\boxed{x^2 - Sx + P = 0}}$$

Bonita forma ¿verdad? ( Esta expresión es útil cuando tenemos por ejemplos las soluciones [$x_1, x_2$] y queremos obtener la forma que tendria original, vamos empezar por el final )

Finalizemos con las ecuaciones bicuadradas, son del tipo:

$$ax^4 + bx^2 + c = 0$$

Se pueden convertir fácilmente en cuadráticas realizando este sencillo paso:

$$t = x^2$$

entonces:

$$at^2 + bt + c = 0$$

y asi tenemos la famosa ecuación de 2º grado.

Aplicamos la teoria ya conocida:

$$t_1 = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$$

$$t_2 = \dfrac{-b - \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}$$

pues:

$$t_1 = x^2$$

$$x = \pm\sqrt{t_1}$$

$$t_2 = x^2$$

$$x = \pm\sqrt{t_2}$$

$$x_1 = \sqrt{t_1}$$

$$x_2 =-\sqrt{t_1}$$

$$x_3 = \sqrt{t_2}$$

$$x_4 = -\sqrt{t_2}$$

Siendo posible un máximo de 4 soluciones ( ya que es de grado 4º, como demostró el gran Gauss... )


Bueno ya he acabado, espero que sea útil y que aproveche , debo dar las gracias a arreldepi que me ha ayudado en algunas cosas con el $Latex$ sino no hubiera podido escribir algunas ecuaciones a la perfección...


saludos


Ulises

[Metaleer]

jeje como decia Newton:




Bueno pues gracias por vuestro apoyo, seguiré con esto, asi se puede ofrecer material para los profanos ( en realidad es una forma de exusarme ) jeje y por cierto no dudeis en corregidme, eso mejora la calidad del hilo.


saludos

Me ha gustado esa cita, la voy a usar de firma.

[Ulises7]

Me ha gustado esa cita, la voy a usar de firma.

jeje a mi también me gusta, no te molestes en ponerla que es demasiado larga y no podrás... aqui un servidor ya lo intentó .

saludos

[Metaleer]

jeje a mi también me gusta, no te molestes en ponerla que es demasiado larga y no podrás... aqui un servidor ya lo intentó .

saludos

Eso es raro; ya la tengo puesta de firma y no dijo nada. No sé, creo que iba por el número de lápices en el foro, puede ser por eso.