Introducción a los números reales

[Ulises7]

Siguiendo con la idea de ofrecer conocimientos a los "profanos" en matemáticas ofreceré a continuación una sencilla introducción a los números reales que será útil para entender algunos conceptos explicados en otros hilos y sobre todo empezar a tener una base y una idea clara sobre los números.

Primero de todo:

Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad.

Los números se dividen en conjuntos y subconjuntos porque cumplen algunas características que los diferencian entre si.

El primer acercamiento a los números es a partir del conjunto de los números naturales {$\mathbb{N}$}, es de forma natural ( contar el número de personas cuando somos pequeños,... ) y también en los albores del estudio.

Los números naturales son:

$$\mathbb{N} = { 1,2,3,...}$$

Hay un conflicto en lo referente a incluir el número dentro de $\mathbb{N}$ o del conjunto $\mathbb{Z}$ ( que veremos ahora ) y es por el hecho de que el "0" indica ausencia y por tanto no debe ser natural o por el contrario hay quienes afirman que cuenta precisamente esa "ausencia" y entonces debe serlo, en este hilo lo incluiré dentro de $\mathbb{Z}$, pero no es nada infrecuente encontrarlo dentro de $\mathbb{N}$.

Cuando ya tenemos una "mayor conciencia" de los números podemos incluir un nuevo conjunto: los enteros {$\mathbb{Z}$} ahora nuestras posibilidades se han ampliado y podemos por ejemplo hablar de una altura inferior al nivel del mar ( $0 \; m$ ) o referirnos a la planta -1, -2, etc.

$$\mathbb{Z} = {...,-2,-1,0,1,2,...}$$

Este conjunto incluye a $\mathbb{N}$ ( $\mathbb{N} \in \mathbb{Z}$ )


El siguiente gran paso lo damos con el conjunto de los racionales {$\mathbb{Q}$}, ahora ya podemos partir la unidad y trabajar con fracciones, ya podemos hablar de $\dfrac{1}{4}$ de pizza o $3,4 \; Km$, etc.

Los números racionales incluyen a los enteros:

$$( \mathbb{N} \in \mathbb{Z} \in \mathbb{Q} )$$

y su definición matemática es:

$$\mathbb{Q} = { \dfrac{a}{b} / a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 }$$

$\mathbb{Q} =$ números decimales limitados o ilimitados y peródicos

Como los números decimales ilimitados y periódicos se pueden expresar en forma de fracción ( en un artículo posterior se explicará como convertir cualquier número racional en forma de fracción ) son también racionales.

Una característica muy importante de los números racionales:

Cualquier número racional se puede expresar mediante una fracción y a su vez, como un número decimal.

Ahora un poco de historia, los Pitagóricos ( una secta de reconocidos matemáticos griegos ) tenian una filosofia propia y la matemática eran la base de esta, creian en la armonia, la proporcionalidad, el orden de la naturaleza, por eso cuando descubrieron la naturaleza del número $\sqrt{2}$ les desconcertó tanto y contradecian sus creencias, asi que ocultaron su hallazgo.

Y es que los números irracionales {$\mathbb{I}$} son curiosos y sorprendentes, no se incluyen dentro del conjunto de los racionales porque no pueden escribirse en forma de fracción ( no tienen fracción generatriz ) y eso se debe al hecho de no tener ningún patrón que "repetido $n$ veces" de lugar a ése número.

Definición:

Un número es irracional si su expresión decimal es ilimitada y no periódica.

Método de reducción a lo absurdo

Vamos a comprobar la irracionalidad del número $\sqrt{2}$ con éste método, consiste en intentar demostrar que $\sqrt{2}$ es número racional y como llegamos a una imposibilidad pues negamos que sea racional y por tanto es irracional.

Vamos a expresar $\sqrt{2}$ como un número racional, como sabemos la característica de los racionales mencionada anteriormente pues:

$$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$$

-Elevamos al cuadrado ambos lados:

$$\displaystyle (\sqrt{2})^2 = \left ( \frac{a}{b}\right )^2$$

-Desarrollamos

$$2 = \dfrac{a^2}{b^2}$$

¿Qué tiene de raro este resultado?

Observamos que si $\dfrac{a}{b}$ es irreductible también lo es $\dfrac{a^2}{b^2} = \dfrac{a\cdot a}{b\cdot b}$, ya que no podemos simplificar ningún factor. Por tanto no es posible que $2 = \dfrac{a^2}{b^2}$ y por tanto es falso que:

$$\sqrt{2} = \dfrac{a}{b}$$

Como consecuencia:

$\sqrt{2}$ no es número racional, por tanto es irracional.

Son números irracionales:

- Cualquier raíz cuadrada de un número natural que no sea entera ( $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, ... )

-El resultado de sumar, restar, multiplicar o dividir un número irracional con números racionales ( $7 - \sqrt{3}$, $\dfrac{\sqrt{10}}{2}$, $4\sqrt{5}$,...)

-Algunos números 'especiales' como: $\pi$, $e$, $\phi$,...

El conjunto de los números reales

Sabemos la existencia de $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{I}$ pues el conjunto de los reales {$\mathbb{R}$} incluye a ambos conjuntos.

( $\mathbb{Q}, \mathbb{I} \in \mathbb{R}$ )

Así nace la famosa recta real, donde se representan todos los números racionales e irracionales sobre una recta.

Entonces podemos trabajar con ellos, una forma es hacerlo por medio de intervalos, ya sea abiertos )(, ][ o cerrados (), [], también pueden ser mixtos. Así por ejemplo cuando hablamos de $] -\infty, +\infty [$ nos referimos a todos los números reales ( ya que va dado por el infinito negativo hasta el infinito positivo ), ahora ya podemos "jugar" con los números.

No profundizaré más sobre la recta real, en todo caso hay información útil por la web .

Espero que le sirva a alguien , con esto me despido.

Saludos

Ulises

[angel relativamente]

Hey Ulises, ¿Como va todo?

Pues nada visitando blogs antiguos me he ha dado por leer este (que curiosamente no lo había leído antes). He estado ojeando mi libro de mates y he visto una demostración más completa de porqué $\sqrt{2}$ es un irracional, te la mostraré por si te interesa (quizá ya la conozcas):

Empieza igual:

$\dst \sqrt{2} = \frac{a}b \rightarrow 2=\frac{a^2}{b^2} \rightarrow a^2=2b^2$

Como $a^2=2b^2$ quiere decir a $a^2$ es par (ya que es múltiplo de 2).

Por tanto si $a^2$ es par quiere decir que a también es par. Como a es par (es decir, un múltiplo de 2) lo escribiremos así:

$a=2k$

Por tanto:

$a^2 = 4k^2$

Y por tanto:

$2b^2 = 4k^2 \rightarrow b^2=2k$

Es decir, $b^2$ v es par y por consiguiente b también es par.

Analizando la demostración se observa que al suponer $\dst \sqrt{2} = \frac{a}b$ con a y b primos entre sí se llega a la conclusión que tanto a como b son pares, por tanto no son primos entre sí. Por tanto $\sqrt{2}$ no puede escribirse como el cociente de dos enteros.

Saludos!

MUY INTERESANTE ME REE SIRVIOO !! GRACIAS

AGUANTE GUERNICA " LOS PINOS "


ATT: NICOLE TANQUIA ♥

[javier m]

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