Introducción a cinemática I

[Ulises7]

Bueno no quiero que penseis que solo hago artículos de matemáticas asi que aqui expondré una breve introducción a cinemática, utilizaremos derivadas e integrales y demostraremos algunos movimientos con estos métodos y otros más sencillos pero el resultado será el mismo.



La cinemática es una rama de la mecánica que se encarga de estudiar los movimientos de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen ( eso ya lo estudia la dinámica ).


Para empezar necesitaremos tener un sistema de referencia ¿qué es?

Un sistema de referencia es un punto, respecto al que se determina la posición de un cuerpo que se mueve.

Por tanto obtendremos un sistema de coordenadas y trabajaremos con 3 ( $x,y,z$ ).

A partir de ahora llamaremos móvil a un punto teórico que es el objeto del estudio, donde se desplazará por el sistema de referencia.

Para situar al móvil en el sistema de referencia haremos uso del vector posición que parte del origen del sistema de referencia y su extremo en el móvil. En la figura podemos observar el vector posición indicado como $\vec{r_p}$ donde el punto P es el móvil y la línea roja es su trayectoria es decir los puntos que ha ocupado sucesivamente el móvil. ( Fig.1)

Fig.1

El vector de posición ( $\vec{r}$ ) de un móvil que se encuentra en el espacio es:

$$\vec{r} = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$$

Donde $\vec{i}$, $\vec{j}$ y $\vec{k}$ son los vectores unitarios de sus respectivos ejes.

Transcurrido un intervalo de tiempo $\Delta t$, el móvil se situa en $P_2$, cuyo vector de posición es $\vec{r_2}$. El incremento desplazamiento $\Delta\vec{r}$ entre los puntos $P_1$ y $P_2$ es un vector que parte de $P_1$ y acaba en $P_2$, es el vector diferencia entre la posición final e inicial:

$$\Delta \vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$$

-¿Qué es el movimiento?

El movimiento es el cambio de posición respecto al tiempo. Es decir un móvil tiene una cierta velocidad ( $v$ ).


Velocidad

La velocidad es la magntiud que nos informa del cambio de posición que experimenta un móvil y el tiempo que emplea en producirse dicho cambio. La unidad en el SI es el ( $m s^{-1}$ ).

Vector velocidad media

Es el cociente entre el incremento del vector desplazamiento y el intervalo de tiempo empleado para variar la posición:

$$\displaystyle \vec{v_m} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{\Delta x \vec{i}+ \Delta y \vec{j} + \Delta z \vec{k}}{\Delta t}$$

Vector velocidad instantánea

Cuando $\Delta t$ se aproxima a 0 el punto $P_2$ se aproxima al punto $P_1$ y la longitud de la trayectoria y el módulo del desplazamiento coinciden. La velocidad instantánea o simplemente velocidad se define como:

$$\displaystyle \vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}}$$

Esta forma se puede expresar con derivadas, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo:

$$\displaystyle \vec{v} = \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{i} + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\vec{j} + \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{k} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z\vec{k}$$

El módulo se le denomina celeridad o rapidez y su valor es:

$$\displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 \vec{i} + v_y^2 \vec{j} + v_z^2\vec{k}}$$

Aceleración

La aceleración es la magnitud que nos informa del cambio de la velocidad del móvil y el tiempo empleado en ello. La unidad en el SI es el ( $m s^{-2}$ )

Vector aceleración media

Es el cociente entre la variación del vector de la velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido.

$$\displaystyle \vec{a_m} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\Delta v_x \vec{i} + \Delta v_y \vec{j} + \Delta v_z \vec{k}}{\Delta t}$$

Sus componentes son:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Vector aceleración instantánea

Cuando $\Delta t$ tiende a entonces se define la aceleración como:

$$\displaystyle \vec{a} = \lim_{\Delta t \to 0}{\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}}$$

Como ya sabemos se puede expresar con derivadas:

$$\displaystyle \vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v_x\vec{i} + \mathrm{d}v_y\vec{j} + \mathrm{d}v_z\vec{k}}{\mathrm{d}t} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$$

$$\displaystyle \vec{a} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{v} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d^2}\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}$$

El módulo de la aceleración es:

$$\displaystyle |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 }$$

Considero que ya tenemos una buena parte de información básica condensada asi que lo dejaremos de momento.


saludos


Ulises

[angel relativamente]

Hey Ulises, leyendo detenidamente el artículo he reparado en una cosa, cuando dices:

El módulo se le denomina celeridad o rapidez y su valor es:
$\displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 \vec{i} + v_y^2 \vec{j} + v_z^2\vec{k}}$

Estas calculando el módulo, por tanto el valor absoluto de v no debería llevar la flechita arriba de vector??
Quiza me equivoque...
Saludos!

[Ulises7]

Hey Ulises, leyendo detenidamente el artículo he reparado en una cosa, cuando dices:


Estas calculando el módulo, por tanto el valor absoluto de v no debería llevar la flechita arriba de vector??
Quiza me equivoque...
Saludos!

Por eso precisamente pongo las barras laterales verticales, para indicar que es el módulo del vector .

[NEUTRON2000]

Seria interesante si escribieras las ecuaciones de la mecanica en otros sistemas de coordenadas como: Coordenadas cilindricas, esfericas etc. o generalizarlo a coordenadas curvilineas ortogonales ya que en mecanica muchas veces el sistema de coordenadas rectangulares no es el mas adecuado y las ecuaciones se simplifican bastante siempre que se elige un buen sistema de coordenas.