Introducción a cinemática III

[Ulises7]

Esta parte es una continuación de: Introducción a cinemática II


Vamos a estudiar algunos movimientos:


Movimiento rectilíneo uniforme ( MRU )

Un móvil describe un MRU cuando su trayectoria es una recta y su velocidad es constante, por tanto la aceleración es nula.


Ecuación de la posición:

$$\displaystyle \vec{v} = \frac{\dd \vec{r}}{\dd t} \Longrightarrow \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}}\dd \vec{r} = \int_{{t_0}}^{t}\vec{v}\dd t \Longrightarrow \Delta \vec{r} = \vec{v}\Delta t$$

$$\boxed {\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v}( t - t_0 )}$$

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado ( MRUA )


Un móvil describe un MRUA cuando su trayectoria es una recta y su aceleración es constante.


Ecuación de la velocidad:

$$\displaystyle \vec{a} = \frac{\dd \vec{v}}{\dd t} \Longrightarrow \int_{t_0}^{t}\vec{a}\dd t = \int_{\vec{v_0}}^{\vec{v}}\dd \vec{v} \Longrightarrow \vec{a}\Delta t = \Delta v$$

$$\boxed {\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}(t - t_0)}$$

Ecuación de la posición:

$$\displaystyle \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}}\dd \vec{r} = \int_{{t_0}}^{t}\vec{v}\dd t$$

$$\displaystyle \int_{\vec{r_0}}^{\vec{r}}\dd \vec{r} = \int_{{t_0}}^{t}(\vec{v_0} + \vec{a}\Delta t)\dd t$$

$$\displaystyle \Delta \vec{r} = \int_{{t_0}}^{t} \vec{v_0}\dd t + \int_{{t_0}}^{t}\vec{a}\Delta t \dd t$$

$$\displaystyle \Delta\vec{r} = \vec{v_0}\Delta t + \frac{1}{2}\vec{a}\Delta t^2$$

$$\boxed {\displaystyle \vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}(t - t_0) + \frac{1}{2}\vec{a}(t - t_0)^2}$$

También se puede llegar a esta ecuación sin utilizar integrales y derivadas:

Sabiendo que $\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_m} \Delta t$ y $\vec{v_m} = \dfrac{1}{2}( \vec{v_0} + \vec{v} )$ ( Donde $\vec{v_m}$ es la velocidad media de la distancia recorrida )

$$\vec{r} = \vec{r_0} + (\dfrac{\vec{v_0} + \vec{v}}{2})\Delta t$$

Como $\vec{v} = \vec{v_0} + \vec{a}(t - t_0)$ pues,

$$\vec{r} = \vec{r_0} + (\dfrac{\vec{v_0} + \vec{v_0} + \vec{a}(t - t_0) }{2})\Delta t$$

$$\vec{r} = \vec{r_0} + (\dfrac{2\vec{v_0} + \vec{a}\Delta t }{2})\Delta t$$

$$\vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}\Delta t + \dfrac{1}{2}\vec{a}\Delta t^2$$

$$\boxed{ \vec{r} = \vec{r_0} + \vec{v_0}( t - t_0 ) + \dfrac{1}{2}\vec{a} ( t - t_0 )^2}$$

Como podemos ver es exactamente la misma ecuación.

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He quitado una deducción errónea. La he sustituido por la dada por AL2000, gracias!

Partiendo de las ecuaciones:

$\vec v = \vec v_0 + \vec a (t - t_0) \quad \Rightarrow \quad \vec v - \vec v_0 = \vec a (t - t_0)$
$\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 (t - t_0) + \frac 1 2 \vec a (t - t_0)^2 \quad \Rightarrow \quad \Delta \vec r = \left [\vec v_0 + \frac 1 2 \vec a (t - t_0) \right ] (t - t_0)$

Multiplicando la segunda por $\vec a$ y sustituyendo la primera se tiene:

$\vec a \cdot \Delta \vec r = \left [\vec v_0 + \frac 1 2 \vec a (t - t_0) \right ] \cdot \vec a (t - t_0) \quad \Rightarrow \quad \vec a \cdot \Delta \vec r = \left [\vec v_0 + \frac 1 2 (\vec v - \vec v_0) \right ] \cdot (\vec v -\vec v_0)$

$\vec a \cdot \Delta \vec r = \frac 1 2 (\vec v + \vec v_0) \cdot (\vec v -\vec v_0)\quad$


Y llegamos a la expresión:

$$\boxed {\vec{v^2} - \vec{v^2_0} = 2\vec{a}\Delta \vec{r}}$$

Esta expresión será muy útil en diversos casos y es idónea cuando no tenemos el tiempo.


Por tanto resumiendo tenemos que las ecuaciones de un MRUA son:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Movimiento circular uniforme ( MCU )


Un móvil describe un MCU cuando describe una trayectoria circular de radio $R$ y con una velocidad angular $\omega$ constante.

Sabemos que el vector de posición es:

$$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} = R \cos\omega t\vec{i} + R \sin\omega t \vec{j}$$

Donde $x = R \cos\omega t$ ; $y = R \sin\omega t$

La velocidad lineal del móvil es:

$$\vec{v} = \dfrac{\dd \vec{r}}{\dd t} = -R\omega\sin\omega t\vec{i} + R\omega\cos\omega t \vec{j} = R\omega (-\sin\omega t\vec{i} + \cos\omega t \vec{j})$$

La aceleración lineal es:

$$<br /> \vec{a} = \dfrac{\dd \vec{v}}{\dd t} = -R\omega^2\cos\omega t\vec{i} - R\omega^2\sin\omega t \vec{j} = -\omega^2\vec{r}$$

$$\boxed{\vec{a} = -\omega^2\vec{r}}$$

El vector aceleración tiene la dirección del vector posición pero sentido contrario, se dirige hacia el centro y es la aceleración centrípeta, la aceleración tangencial es nula ya que la velocidad se mantiene constante.

Lo dejamos de momento.


Saludos


Ulises