Integral de superficie: una aplicación al cálculo del potencial en el vértice de un cono

[oscarmuinhos]

Al resolver el enunciado planteado por Xerox en el siguiente hilo https://forum.lawebdefisica.com/foru...ice-de-un-cono, en el que se pide calcular el potencial en el vértice de un cono uniformemente cargado con una carga Q, han surgido tres maneras de visualizar la superficie para calcular el potencial que se pide. En esta entrada (y con el permiso de AI2000, $\mathcall A\ell$, que gusta de las soluciones más simples) voy a resolver el enunciado utilizando la metodología más propia del cálculo integral, de forma que sirva de ejemplo de como el cálculo afronta las integrales de superficie

Enunciado:
Un cono circular recto está hecho de un material aislante y tiene una carga total Q repartida uniformemente en su superficie cónica. El cono tiene una generatriz de longitud L. Determinar el potencial eléctrico en el vértice P del cono.

Integral a resolver:
Esta integral nos viene dada, por supuesto, desde la Física.

Aplicando la fórmula que nos da el potencial creado por una carga puntual en un punto P:$\,$

$dV=k\dfrac{dq}{l}=k\dfrac{\sigma dS}{l}$

Integrando la expresión anterior extendida a toda la superficie del cono se obtiene el potencial V en el punto P

$V=\displaystyle \int_SdV=\int_Sk\dfrac{dq}{l}=k\int_S \dfrac{\sigma dS}{l}=k\sigma \int_S \dfrac{dS}{l}$

donde $l$ es la distancia desde el punto en el que tomamos el elemento diferencial de carga $dq=\sigma dS$ hasta el vértice P del cono.

Integración:
1) parametrización de la superficie cónica:
Para calcular la integral de superficie anterior es necesario empezar por conocer la ecuación parametrizada de la superficie del cono, para con esta parametrización calcular el vector $\vec{dS}$ y su módulo.

Esta parametrización de la superficie del cono puede realizarse por diferentes caminos. En este caso, tratándose de una superficie de revolución, es cómodo realizarla rotando las coordenadas x o y en torno al eje z
Empezamos tomando una de las generatrices de la superficie cónica en el plano x=0. Si R es el radio del cono y H es su altura, la ecuación de esta generatriz vendrá dada por:

$z' = \dfrac{H}{R}y'$ siendo su vector director $\vec v_d=(0, R, H)$

La misma generatriz en paramétricas:

$x' = 0$

$y' = Rt$

$z' = Ht$

Si, a continuación, rotamos esta generatriz para generar la superficie cónica es fácil ver a partir de la figura adjunta que los puntos (x, y, z) de dicha cónica vendrán dados por:

$(x, y, z) = (y_ccos\theta, y_csen\theta, z_c)$

que, recurriendo a la ecuación parametrizada de la generatriz, se convierte en:

$(x, y, z) = (Rtcos\theta, Rtsen\theta, Ht)$

La ecuación parametrizada de esta superficie cónica será, pues:


$\sigma (x,y,z)=(Rtcos\theta, Rtsen\theta, Ht)=\sigma(t, \theta)$

determinación del vector $\vec{dS}$ y su módulo: A partir de la ecuación parametrizada de la superficie cónica construimos a continuación el vector $\vec{dS}$ y su módulo.

- vector tangente a la superficie cónica en la dirección del parámetro t:

$\,$

$\dfrac{\partial \sigma}{\partial t}=(Rcos\theta, Rsen\theta, H)$

$\,$

- vector tangente a la superficie cónica en la dirección del parámetro $\theta$:

$\,$

$\dfrac{\partial \sigma}{\partial \theta}=(-Rtsen\theta, Rtcos \theta, 0)$

$\,$

- vector $\vec n$ perpendicular a la superficie cónica:

$\vec n=$

$\begin{pmatrix}<br /> \vec i &\vec j &\vec k\\<br /> Rcos\theta &Rsen\theta &H\\<br /> -Rtsen\theta &Rtcos\theta &0\\<br /> \end{pmatrix}$

Y efectuando este producto vectorial:

$\,$

$\vec n= (-RHtcos\theta, -RHtsen\theta, R^2t)$

$\,$

El vector $\vec{dS}$ será, entonces,

$\,$

$\vec{dS}=\vec n\,dt\,d\theta=(-RHtcos\theta, -RHtsen\theta, R^2t)dt\,d\theta$

Y su módulo:
$\,$

$dS=\sqrt{R^2H^2t^2+R^4t^2}\,dt\,d\theta=Rt\sqrt{H^2+R^2}dt\,d\theta=RLtdt\,d\theta$

3) Calculo del potencial en el vértice del cono:
Se tiene que realizar la siguiente integración:
$\,$

$\displaystyle{V=\int_SdV=k\int_S\dfrac{dq}{l}=k\sigma\int_S\dfrac{dS}{l}}$

TEX]\,[/TEX]
en la cual tenemos $dS$ en función de los parámetros $t$ y $\theta$. Queda expresar la distancia $l$ en función de los mismos parámetros y determinar los límites de la integración:

-distancia $l$:

El vector de posición del punto A correspondiente a $dq$ es: $\vec{OA}= (Rtcos\theta, Rtsen\theta, Ht)$

$\,$
Por lo tanto, $l=\sqrt{R^2t^2cos^2\theta+R^2t^2sen^2\theta+H^2t^2}=t\sqrt{R^2+H^2}=Lt$
$\,$

-límites de integración: para $\theta$: desde a $2\pi$

$\,$

para t: desde $t=0 \,\,(l=0)$ hasta $t=1\,\,\,(l=L)$

La integral a realizar queda, entonces, definitivamente así:
$\,$

$V=\displaystyle {k\sigma \int_S\dfrac{dS}{l}=k\sigma \int_S\dfrac{RLt}{Lt}dt\,d\theta}=k\sigma \int_S Rdt\,d\theta$

$\,$

$\displaystyle{V=k\sigma \int_S Rdt\,d\theta=k\sigma R\int_0^1dt\,\int_0^{2\pi} d\theta=2\pi k\sigma R=2\pi k\dfrac{Q}{\pi RL}R=\dfrac{Q}{2\pi\epsilon_0 L}}$

En resumen, un laborioso trabajo de cálculo y LATEX nada recomendable para calcular el potencial pedido, pero que puede ser un útil ejemplo para ilustrar al visitante sobre como se parametriza una superficie de revolución y sobre como se realiza una integración de superficie escalar.
Agradezco vuestros comentarios sobre cualquier error conceptual o de cálculo que pueda tener.
Muchas Gracias