Nudos de luz

[Weip]

Hola a todos, vengo a hablaros de unas soluciones de las ecuaciones de Maxwell en el vacío muy chulas con forma de nudo. Son soluciones de campo nulo, es decir, soluciones en las que los campos eléctrico y magnético son ortogonales y cumplen $\vec{E}^2 -\vec{B}^2=0$ (uso unidades en las que $c=1$). La nulidad hace que la topología de nudo se preserve a lo largo del tiempo. Para encontrar estas soluciones usaremos un método denominado construcción de Bateman que explicaré a continuación. Partimos de las ecuaciones de Maxwell en el vacío:

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{E}=0$$

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0$$

$$\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dst\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

$$\vec{\nabla}\times\vec{B}= \dst\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$

Ahora vamos a reescribir las ecuaciones para que resulte más cómodo trabajar con ellas. Para ello definimos el llamado vector de Riemann-Silberstein como:

$$\vec{F}=\vec{E}+i\vec{B}$$

Las ecuaciones quedan:

$$\vec{\nabla}\cdot \vec{F}=0$$

$$i\dst\frac{\partial \vec{F}}{\partial t}=\dst\nabla\times \vec{F}$$

Proponemos como solución $\vec{F}=\vec{\nabla} \alpha \times \vec{\nabla} \beta$ donde $\alpha$ y $\beta$ son dos funciones escalares complejas. El vector $\vec{F}$ propuesto cumple con la ecuación (6) ya que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Por otro lado:

$$i \dst\vec{\nabla}\times \left( \dst\frac{\partial \alpha}{\partial t}\vec{\nabla}\beta- \dst\frac{\partial \beta}{\partial t}\vec{\nabla}\alpha\right)=\vec{\nabla}\times \vec{F}$$

De aquí sacamos que $\vec{F}=i\left( \dst\frac{\partial \alpha}{\partial t}\vec{\nabla}\beta- \dst\frac{\partial \beta}{\partial t}\vec{\nabla}\alpha\right)$. Esto nos sirve para comprobar que la solución que hemos encontrado es de campo nulo:

$$\dst\vec{F}^2=i \left( \dst\frac{\partial \alpha}{\partial t}\vec{\nabla}\beta- \dst\frac{\partial \beta}{\partial t}\vec{\nabla}\alpha\right) \cdot \left( \vec{\nabla} \alpha \times \vec{\nabla} \beta \right)=0$$

Con lo que $\vec{E}\cdot \vec{B}=0$ y $\vec{E}^2 -\vec{B}^2=0$.

Una vez llegados aquí ya podemos encontrar algunos ejemplos. Uno de los más importantes es el Hopfión:

$$\alpha=\dst\frac{A-1+iz}{A+it}$$

$$\beta=\dst\frac{x-iy}{A+it}$$

Donde $A=\dst\frac{x^2+y^2+z^2-t^2-1}{2}$. Aquí tenéis una imagen de esta solución:

En rojo tenéis las líneas de campo eléctrico, en azul las del campo magnético y en gris las del vector de Poynting. A partir del Hopfión se pueden obtener muchas soluciones del mismo estilo. Realmente la construcción de Bateman también funciona si en vez de usar $\alpha$ y $\beta$ usamos funciones holomorfas $f$ y $g$ que dependan de $\alpha$ y de $\beta$. Escogiendo el caso concreto $f(\alpha, \beta)=\alpha^p$ y $g(\alpha, \beta)=\beta^q$ con $p$ y $q$ coprimos obtenemos toda una família de soluciones con formas de nudo tórico (nudos sobre la superfície de un toro). Si $p$ y $q$ no fueran coprimos entonces en vez de nudos surgirían enlaces, que son conjuntos ordenados de nudos que no se intersectan entre sí. Aquí tenéis una imagen con las líneas de campo magnético de algunas soluciones encontradas con este método:

En los apartados a, b y c tenemos el caso $p=2$, $q=3$ llamado nudo trébol. En d, e y f el caso $p=2$, $q=5$ . Finalmente en g, h, i corresponde a $p=2$, $q=2$ y son cuatro de los llamados enlaces de Hopf. En el canal de youtube de Francis Villatoro podéis encontrar un vídeo con la evolución temporal de las lineas de campo magnético anteriores que venía con un artículo (los detalles y enlaces al artículo los tenéis en la descripción del vídeo). Que yo sepa estas soluciones aún no se han encontrado en el laboratorio pero hay propuestas para ello.

Y esto es todo. Espero que os haya gustado, cualquier notificación de error/comentario/sugerencia pues me decís.

[Weip]

Me alegro que os haya gustado. alexpglez sobre la utilidad de estas soluciones según he leído todo esto serviría para atrapar átomos y se usaría en cosas de láseres pero hay muy poca información sobre aplicaciones prácticas porque aún queda mucho trabajo tanto teórico como experimental. ¡A ver que nos depara el futuro!

[Julián]

Interesante weip. Con lo referente a la práctica debe considerarse la relación en el vacio de $E= cB$ y es que siempre que se considera c=1 es para simplificar los cálculos y poder operar más comodamente, luego obtenido el resultado se realiza la transformación proporcional con $c=3*{10}^{8}$. Por lo tanto es válida es consideración.

La pregunta es por qué no se ha observado dicha topología de campos. Creo que la cuestión radica en la ortogonalidad $B.E =0$ y es que la onda plana es una consideración ideal, que solo se puede considerar a la onda plana en un radiador cuando la distancia al ente emisor tiende a infinito. Ya que siempre existe un campos cercanos y campos radiantes.

[Weip]

Gracias por el comentario Julián, lo de las ondas planas no lo había pensado.