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Buscando a Ítaca - El blog de Ulises7

Ecuaciones de 2º grado y bicuadradas

Calificación: 2 votos, 5,00 de media.
Bueno a pesar de que la mayoria de usuarios de este foro ( por no decir todos ) conocen a la perfección lo que expondré a continuación, lo haré porque quiero contribuir a exponer información útil en este caso en el ámbito de las matemáticas sobre un tema básico pero esencial como son las ecuaciones de 2º grado y que requiere su total dominio ya que en física son imprescindibles, va dirigido sobre todo para estudiantes de secundaria para reafianzar conceptos y que vean que las matemáticas no es magia ( matemagia ) sino que tiene un rigor y una elegancia que muchas otras disciplinas envidian ( o deberian hacerlo ).


Bueno empecemos, la definición es la siguiente:

Una ecuación es de segundo grado con una incógnita si, una vez efectuadas las operaciones y reducido los términos parecidos, el término de máximo grado es 2.
Son de la forma:

ax^2 + bx + c = 0

( a, b, c \in {\mathrm R} ) y a \neq 0

Si ( b, c ) \neq 0 entonces es Completa.

Si b, c o b y c = 0 entonces es Incompleta.



Ecuaciones Completas:

ax^2 + bx + c = 0

Ecuaciones Incompletas:


ax^2 = 0

ax^2 + c = 0

ax^2 + bx = 0



Resolución:

Tipo:

1)

ax^2 = 0

x^2 = \dfrac {0}{a}

x^2 = 0

x = \sqrt {0}

x = 0


2)

ax^2 + c = 0

ax^2 = -c

x^2 = \dfrac{-c}{a}

x = \pm\sqrt{\dfrac{-c}{a}}

donde ( \dfrac{-c}{a} > 0 )


3)

ax^2 + bx = 0

x ( ax + b ) = 0

x = 0
y ax + b = 0

ax = -b

x = \dfrac {-b}{a}


4)

ax^2 + bx + c = 0

ax^2 + bx = -c

4ax^2 + 4bx = -4c

4a^2x^2  + 4abx = -4ac

4a^2x^2  + 4abx + b^2 = b^2 -4ac

( 2ax + b )^2 = b^2 -4ac

2ax + b = \pm\sqrt {b^2 -4ac}

2ax = -b \pm\sqrt {b^2 -4ac}



 \boxed{\boxed{x = \dfrac{-b \pm\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}}}}


Bueno por fin llegamos a esta famosa ecuación y como veis no sale de la nada , en ocasiones puede que os pidan llegar a la fórmula general a partir de esta solución, muy sencillo solo tenéis que repetir estos pasos pero a la inversa .

Ahora vamos a analizar el número de soluciones, la clave está en el discriminante ( b^2 - 4ac ):

Si b^2 - 4ac > 0 entonces tenemos 2 soluciones ( opuestas entre si una + y otra - ):

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}

Si b^2 - 4ac = 0 entonces tenemos 1 solución ( doble )

x_1 = \dfrac {-b}{2a}

x_2 = \dfrac {-b}{2a}

Si b^2 - 4ac < 0 entonces no tiene solución ( En \mathrm R )

Bueno pues eso a partir del discriminante se puede saber el número de soluciones de la ecuación sin necesidad de desarrollar sus soluciones.

Ahora vamos a trabajar con las soluciones, intentando obtener resultados interesantes, sabemos que tenemos 2 pues vamos a sumar los resultados y también multiplicarlos para ver que obtenemos:

Sabemos que:

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}

Pues S = x_1 + x_2

S = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}

S = \dfrac{-2b}{2a}

\boxed{S = \dfrac{-b}{a}}

El producto será:

P = x_1 \cdot x_2

P = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 -4ac}}{2a} \cdot \dfrac{-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}

P = \dfrac {b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2}

\boxed{P = \dfrac {c}{a}}

Ahora cogemos la forma básica:

ax^2 + bx + c = 0

y la dividimos por a:

x^2 + \dfrac{bx}{a} + \dfrac{c}{a} = 0

y sabiendo los valores de S = \dfrac {-b}{a} y P = \dfrac{c}{a}:

\boxed{\boxed{x^2 - Sx + P = 0}}

Bonita forma ¿verdad? ( Esta expresión es útil cuando tenemos por ejemplos las soluciones [x_1, x_2] y queremos obtener la forma que tendria original, vamos empezar por el final )

Finalizemos con las ecuaciones bicuadradas, son del tipo:

ax^4 + bx^2 + c = 0

Se pueden convertir fácilmente en cuadráticas realizando este sencillo paso:

t = x^2

entonces:

at^2 + bt + c = 0
y asi tenemos la famosa ecuación de 2º grado.

Aplicamos la teoria ya conocida:

t_1 = \dfrac{-b + \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}

t_2 = \dfrac{-b - \sqrt {b^2 - 4ac}}{2a}


pues:

t_1 = x^2

x = \pm\sqrt{t_1}

t_2 = x^2

x = \pm\sqrt{t_2}


x_1 = \sqrt{t_1}

x_2 =-\sqrt{t_1}

x_3 = \sqrt{t_2}

x_4 = -\sqrt{t_2}

Siendo posible un máximo de 4 soluciones ( ya que es de grado 4º, como demostró el gran Gauss... )


Bueno ya he acabado, espero que sea útil y que aproveche , debo dar las gracias a arreldepi que me ha ayudado en algunas cosas con el Latex sino no hubiera podido escribir algunas ecuaciones a la perfección...


saludos


Ulises

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Actualizado 30/07/2010 a las 13:42:33 por Ulises7

Categorías
Matemáticas

Comentarios

  1. Avatar de arreldepi
    Eis, un artículo muy interesante! Nunca había visto lo de la suma y el producto, es curioso.

    En cuanto a lo de Latex, de nada , sólo una cosa, cuando vayas a usar fracciones muy grandes, para que quede en tamaño normal puedes escribir \dfrac, en lugar de \frac

    Otra opción es, al principio de todo, escribir \displaystyle (dejar espacio) y escribir todo lo que quieras.

    Un saludo!
  2. Avatar de Ulises7
    Cita Escrito por arreldepi
    Eis, un artículo muy interesante! Nunca había visto lo de la suma y el producto, es curioso.

    En cuanto a lo de Latex, de nada , sólo una cosa, cuando vayas a usar fracciones muy grandes, para que quede en tamaño normal puedes escribir \dfrac, en lugar de \frac

    Otra opción es, al principio de todo, escribir \displaystyle (dejar espacio) y escribir todo lo que quieras.

    Un saludo!
    jeje gracias, ya he hecho las correciones , ahora está un poco más 'decente' , esto era una idea que me iba rondando hace dias ( si veo que es una buena idea creo que me animaré con una introducción a números complejos, trigonometria, etc ), además sabia que en la ESO o incluso en bachillerato se dan los conceptos corriendo y casi no queda lugar para demostraciones ( en mi caso la vi por mi cuenta ) ni tampoco para 'profundizar' en cuestiones como la suma, el producto, etc...

    saludos
    Actualizado 29/08/2009 a las 22:07:03 por Ulises7
  3. Avatar de Metaleer
    Está bastante bien, te felicito por el trabajo.

    Cuando dice "Ahora vamos a analizar el número de ecuaciones, la clave está en el discriminante", no debería ser "Ahora vamos a analizar el número de soluciones, la clave está en el discriminante"?

    Saludos.
  4. Avatar de Adosgel
    Te felicito, me encanta la claridad con la que te desenvuelves.

    Un detalle de alguien que no sabe ni papa de LaTex, en: "Aplicamos la teoría ya conocida, en la segunda fórmula, el denominador de 2a lo has dejado arriba (todos sabemos que es un despiste, pero esta mejor correjido).

    Como comentario, solo decir que una solicción no R, no es automáticamente desechable, depende del contexto, y más en física.

    Por otro lado, el producto de las dos solucciones es el cuadrado de una solucción más precisa también en ciertos contextos, y no solo un aparato matemático destinado a facilitar otros procesos.
  5. Avatar de Ulises7
    Corregido, gracias metaleer i adosgel por avisarme de mis errores :P, esto de escribir comentarios y articulos corriendo no es bueno .


    Una duda ( ya que aún no lo he dado ) adosgel dices que los números complejos pueden ser útiles en física, como ignorante en este tema te pido por favor que me aclararas esta duda...


    saludos
  6. Avatar de Adosgel
    Ya lo creo que lo son. Y en muchas más cosas.

    http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

    Relaccionado con las ecuaciones, léete del enlace, "Soluciones de ecuaciones polinómicas".

    Saludos.
  7. Avatar de Metaleer
    En ingeniería mecánica también se usan. El método de Raven es especialmente ingenioso; a cada eslabón (barra) de una máquina se le asigna un vector que se pasa a número complejo como exponencial compleja, que es muy útil para obtener velocidades y aceleraciones, al ser una exponencial.

    Aparte, en circuitos de corriente alterna también se usa (método fasorial), y en dinámica de fluidos se usa la variable compleja (aplicaciones conformes) pero todo esto te lo explicarán con detalle cuando toque.

    Un saludo.
  8. Avatar de Ulises7
    No tenia ni idea , bueno mejor ya que los números complejos son divertidos, asi podré trabajar con ellos .

    Ahora una consulta, ¿consideráis que merece la pena que continue elaborando apuntes de este tipo? por cuestión de mi tiempo y ganas no hay problema ya que asi repaso contenidos pero la cuestión está en que como está la diosa wikipedia alli puedes encontrar casi todo y la calidad es buena, además está el hecho de si de verdad a alguien le va a servir o lo va a ver...


    saludos
    Actualizado 30/08/2009 a las 16:56:46 por Ulises7
  9. Avatar de arreldepi
    Si alguien escribe en google: Ecuaciones de 2º grado y bicuadradas. Tu artículo aparece como la segunda opción, así que es fácil que lo encuentren, y el nivel de wikipedia no es el que siempre se anda buscando, no?
  10. Avatar de Ulises7
    Cita Escrito por arreldepi
    Si alguien escribe en google: Ecuaciones de 2º grado y bicuadradas. Tu artículo aparece como la segunda opción, así que es fácil que lo encuentren, y el nivel de wikipedia no es el que siempre se anda buscando, no?
    Gracias por tus ánimos jeje, aunque poca gente introducirá esa búsqueda tan larga y concreta... de momento hay 2 visitas de parte de alli aunque creo que 1 es mia y la otra tuya jajaj, bueno da igual seguiré con esto, ahora estoy elaborando unos apuntes como introducción al número real, bastante sencillo para que queden claro algunos conceptos que ya hay presentes en este hilo y en futuros.

    Además asi voy aprendiendo a divulgar ...

    saludos
  11. Avatar de Adosgel
    Estoy con arreldepi. No te cortes, y más aún si te divierte.

    Espero tu nueva aportación al foro.

    Saludos
  12. Avatar de Metaleer
    Estoy con los compañeros, no dudes en aportar tu pequeña gota de agua que pasará a formar parte del mar del conocimiento. :D
  13. Avatar de Ulises7
    Cita Escrito por Metaleer
    Estoy con los compañeros, no dudes en aportar tu pequeña gota de agua que pasará a formar parte del mar del conocimiento.
    jeje como decia Newton:

    No sé que opina el mundo de mí; pero yo me siento como un niño que juega en la orilla del mar, y se divierte descubriendo de vez en cuando un guijarro más liso o una concha más bella de lo corriente, mientras el gran océano de la verdad se extiende ante mí, todo él por descubrir.

    Bueno pues gracias por vuestro apoyo, seguiré con esto, asi se puede ofrecer material para los profanos ( en realidad es una forma de exusarme ) jeje y por cierto no dudeis en corregidme, eso mejora la calidad del hilo.


    saludos
  14. Avatar de Metaleer
    [QUOTE=Ulises7;bt982]jeje como decia Newton:




    Bueno pues gracias por vuestro apoyo, seguiré con esto, asi se puede ofrecer material para los profanos ( en realidad es una forma de exusarme ) :rolleyes: jeje y por cierto no dudeis en corregidme, eso mejora la calidad del hilo.


    saludos[/QUOTE]

    :eek: Me ha gustado esa cita, la voy a usar de firma. :D
  15. Avatar de Ulises7
    Cita Escrito por Metaleer
    Me ha gustado esa cita, la voy a usar de firma.
    jeje a mi también me gusta, no te molestes en ponerla que es demasiado larga y no podrás... aqui un servidor ya lo intentó .

    saludos
  16. Avatar de Metaleer
    [QUOTE=Ulises7;bt991]jeje a mi también me gusta, no te molestes en ponerla que es demasiado larga y no podrás... :mad: aqui un servidor ya lo intentó :D.

    saludos[/QUOTE]

    Eso es raro; ya la tengo puesta de firma y no dijo nada. No sé, creo que iba por el número de lápices en el foro, puede ser por eso.
  17. Avatar de baustian
    Hola que tal con respecto a los números complejos, yo estudio ingenieria electronica y se usa ampliamente. Por ejemplo se utiliza en ondas electromagneticas para trabajo con antenas, tambien en analisis de señales.
    Los numeros complejos se utilizan mucho para todo lo relacionado con las redes monofasica y trifasica, o para el analisis de potencias activa, reactiva y aparente de la red electrica que llega a tu hogar o una empresa por ejemplo.
    y etc, etc, etc, etc.
    Como ves hay muchas aplicaciones, te podría decir muchas más pero es para darte una idea nada mas.
    Espero que te haya servido, saludos.
  18. Avatar de No registrado
    escribe una ecuacion bicuadrada cuyas soluciones sean 3,-3,1 y -1 como se haría?
  19. Avatar de Ulises7
    Cita Escrito por No registrado
    escribe una ecuacion bicuadrada cuyas soluciones sean 3,-3,1 y -1 como se haría?
    Deberias crear un hilo en el foro con la duda correspondiente, de momento decirte que una parte de lo que he expuesto trata sobre las soluciones de las cuadradas no de las bicuadradas.


    Saludos

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