Cerrado [Desafío 2.05] Sopla, padre, sopla

[La esfinge]

¡Hola a todos!

Hoy estoy terriblemente contenta, ¡no quepo en mi! Ahora os cuento, antes de empezar dejadme que os diga que esta mañana he dejado a Cleopatra la mar de intrigada leyendo vuestras respuestas al desafío anterior. Creo que esta vez no le habéis acabado de solucionar la duda demasiado bien, pero no os preocupéis; más caminantes murieron a merced de mi enigma original en Tebas (y no es que me sienta orgullosa, la verdad).

Volviendo al tema de hoy, os contaba que estoy muy emocionada porque, ¡hoy liberan a mi padre, Tifón! Como sabréis, hace muchos años que Zeus lo impresionó lanzándole encima el monte Etna, en Sicilia, que desde entonces se convirtió un volcán. No se le puedo reprochar al dios de los dioses, ya que mi señor progenitor intentó matarle y destruir el Olimpo, por orden de mi abuela Gaia, como venganza por haber enjaulado a los Titanes.

Sí, la verdad es que en mi familia tenemos un pasado algo virulento. Pero no os preocupéis, que de eso han pasado milenos y nos hemos reinsertado en la sociedad. Aún así, Zeus no ha accedido a liberar a Tifón hasta hoy. Así que aquí me tenéis, en la misma Sicilia disfrutando de la sobremesa con mi padre en libertad desde hace... no recuerdo ni cuánto hace.

Como no puede ser de otra forma, hemos estado recordando viejas andanzas, sobre todo su batalla final contra el padre de todos los dioses. Me ha estado contando que, según sus cálculos, necesitaba crear una racha de viento que viajara a unos 2000km/h para derribar la última linea de defensa de Zeus. No obstante, por más que se esforzaba, no lo consiguió.

«Me esforcé todo lo que pude, pero más empeño que ponía, el viento no superaba los 1800km/h». Según sus propias palabras «al ver que la velocidad no aumentaba, doblé mi empeño... pero no había manera. Siempre me he preguntado el motivo de este aparente límite en la velocidad del viento, y qué debería haber hecho para sortearlo».

No te preocupes, querido papaíto. Mis amigos de La web de Física te ayudarán a solucionar tu milenaria duda. Y lo mejor de todo es que, en pleno siglo XXI, ni siquiera hace falta amenazarlos de muerte para que respondan.

[La esfinge]

Sopla, padre, sopla.

El aire está compuesto de moléculas que se mueven a grandes velocidades. Si hay viento, significa que hay más partículas que se mueven en una dirección que en la contraria. En el caso extremo, todas las partículas se moverán a la misma velocidad, por lo que la velocidad del viento será la velocidad media de las partículas según la distribución de Maxwell.

El valor dado en el enunciado proviene de considerar el teorema de equiparación,

$\frac12 m \left< v \right>^2 = \frac32 k T \longrightarrow \left< v \right> = \sqrt{ \dfrac{3 k T}{m} } .$

Tomando T = 300K y $m = 28 m_\text{prot\'on}$ (nitrógeno diatómico), $\left< v \right> \approx 515\mathrm{m/s} \approx 1854\mathrm{km/h}$.

A continuación encontraréis las cuatro respuestas que se han presentado en este desafío. La mejor valorada por el jurado ha sido la de Arreldepi, con una media de 8,96 puntos.

Consulta las reglas de la segunda edición del Desafío Ed. URSS - La web de Física.

[Cherno Alpha]

Respuesta: Sopla, padre, sopla.

El aire está compuesto por particulas.
La energia cinetica de una particula viene dada por la expression $H^{Kin} =\frac{1}{2} m*v^2$, y sabemos que la energia cinetica media de una particula es $\frac{3}{2 }kT$donde K es la constante de boltzmann.
Asi que tenemos que
$\frac{1}{2} m*v^2 = \frac{3}{2 }kT$
Cuando todas las particulas del aire se meuven en direcciones aleatorias, ho hay viento. Pero cuando hay mas que van en una misma direccion, es cuando notamos el viento. Si todas van en la misma direccion, es imposible aumentar la media del sistema.
Por este motivo no podemos superar la velocidad de 1800km/h.

[arreldepi]

Respuesta:

El motivo por el cual no pudo superar los 1800 km/h es el siguiente:

Los gases están formados por partículas, según el teorema de equipartición, la relación entre la velocidad media de las partículas de un gas y la temperatura es:

$$v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{N_A\cdot m}}$$

en la siguiente imagen podemos ver la densidad de probabilidad para la velocidad de algunos gases a 298 K:

El aire, está formado principalmente por un 78% de nitrógeno diatómico, un 21% de oxigeno diatómico y un 1% de otros que podemos ignorar.

Según esto, suponiendo temperatura ambiente (298K) vemos que la velocidad media de dichas partículas será:

$$\text{N}_2:\qquad v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{8,314\cdot 298}{6,023\times 10^{23}\cdot(28\cdot 1,66 \times 10^{-27})}}\approx 525 m/s$$

$$\text{O}_2:\qquad v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{8,314\cdot 298}{6,023\times 10^{23}\cdot(32\cdot 1,66 \times 10^{-27})}}\approx 491 m/s$$

(el $1,66\times 10{-27}$ aparece al pasar de umas a gramos).

Si lo pasamos a km/h, esto es 1890 km/h y 1767,6 km/h. Si la velocidad media a temperatura ambiente de las particulas que más abundan en el aire es ésta, por más que sople (aumenta el numero de partículas y, quizás, la velocidad inicial con la que salen, pero no la temperatura) no podremos superar dicha velocidad ya que cuando hayan recorrido una cierta distancia y entrado en contacto con la temperatura ambiente, la velocidad de ellas volverá a ser $v_{\text{rsm}}$. Para llegar a los 2000 km/h (555m/s) tendría que elevarse la temperatura (según la ecuación anterior) hasta unos 340 K - 380 K.

[Blasco]

Participando en el desafio

Enhorabuena por el desafío, muy curioso y bien redactado.
Aquí va mi intento.

Si aplicamos Bernouilli podemos encontrar una aproximación para la velocidad del aire del enigma. (En regimen turbulento, esta velocidad sería diferente).

Partimos de la ecuación de Bernoulli
Tomamos P como la presión atmosférica (101325 pa)
Z=0 ( origen en labios de Zeus)
Densidad del aire = 1,2 Kg/m3
k=presión atmosférica (z=0 y v=0)

$(v^2\rho )/2+P+\rho gz=k$

$v=\sqrt{101325*2/1,2}= 410,94 m/s (1479 km/h)$

Para esta velocidad crearíamos un vacío y no podría incrementarse.
(Podríamos aumentar algo esta velocidad con el factor $\rho gz$ teniendo en cuenta la variación de g con la altura y la disminución de la densidad del aire con la la altura, pero esto lo dejo para otro)

Un saludo

[neometalero]

5º Desafío: Sopla padre, sopla

En Meteorología y Climatología se le llama al viento del gradiente a la aproximación al viento real debido a la dificultad para modelar la atmósfera y sus fenómenos. A la hora de tener en cuenta dicho viento, se considera que el viento es producto del equilibrio entre el gradiente de presión, el efecto de Coriolis y la aceleración centrípeta y se eliminan de las ecuaciones las fuerzas de rozamiento.

Por tanto, para hallar una expresión para dicho viento necesitamos conocer 3 factores, a saber: el gradiente de presión horizontal, la fuerza centrípeta y la fuerza de Coriolis.

${f}_{p }=-\frac{\partial P}{\partial x}$

${f}_{c }=-\rho\frac{{v}^{2 } }{R }$

${f}_{ C}=\rho{f}{v}$

donde f es el parámetro de Coriolis que tiene la siguiente forma:

$f=2\Omega{sen\varphi}$

donde $\varphi$ es la latitud y $\Omega$ es la velocidad angular terrestre.

A partir de aquí, si consideramos la suma de todas ellas, es fácil llegar a la siguiente ecuación:

${f}_{P }+{f}_{ c}+{f}_{ C} =0$

Con algo de manipulación matemática, es posible resolver esa ecuación para la velocidad del gradiente y obtener la siguiente expresión:

$v=-\frac{fR}{2 }\sqrt{\frac{{f}^{2 }{R}^{2 } }{4 }-\frac{R}{ \rho }\frac{\partial P}{\partial x} }$

Ahora bien, teniendo en cuenta el valor máximo posible para $f$, (teniendo en cuenta que el $sen\varphi$ puede valer 1 como máximo y conociendo la velocidad angular terrestre), conociendo la densidad del aire (dato conocido), que el radio máximo no puede ser mayor del propio terrestre (tomemos 6370Km) y los valores del gradiente horizontal de la presión (fácilmente obtenibles mediante datos de radiosondeos), podemos hallar un valor máximo para dicha velocidad.

Introduciendo los datos mediante un sencillo algoritmo en un pc, yo he obtenido un valor máximo de la velocidad de:

$464m/s=1670Km/h$

bastante parecido a los 1800Km/h. Las diferencias pueden deberse a los datos para la densidad del aire, que he tomado el radio medio terrestre y a los del gradiente de presiones, si bien estos no influyen tanto puesto que a partir de un cierto valor, el valor de la velocidad no cambia sino que tiende a un límite.