[Desafío 2.02] Cómo enfriar una sopa aportando energía

[Laron]

Respuesta -Cómo enfriar una sopa aportando energía-

Hola Esfinge, otro nuevo enigma eh? parece que su vida es muy activa, eso es bueno...
Para evitar conflicto entre estos dos hombres, vamos a ver si podemos sacar un poco de dudas.
El calor se puede propagar por 3 formas: conducción, convección, radiación.
-Conducción es una forma de transmisión de calor entre sólidos, debido a la vibraciones de las moléculas.
-Radiación es una forma de transmisión de calor por medio de radiación de ondas electromagnéticas.
-Convección es una forma de transmisión por medio de fluidos por un movimiento o desplazamiento de la materia.

Viendo estos conceptos, podemos ver que al tener una sopa, la cual es un fluido (líquido), va a tener una propagación de calor por convección. Un fluido con una alta temperatura, -en nuestro caso la sopa- que se encuentre contenido en algún recipiente, tendrá una parte que presente menor densidad (ésta será la parte que se encuentre al fondo) y una con mayor densidad (la que se encuentra en la superficie). Luego por efecto del movimiento debido a la densidad, el que presente menor densidad tendrá a ascender y el de mayor densidad a descender, de manera que Maxwell al revolver la sopa, lo que hace es ayudar a la parte de menor densidad (que es la parte más caliente) a que pueda subir a la superficie, y cuando ésta parte suba a la superficie pueda transmitir calor con el aire, sabiendo que el flujo de calor es desde el foco caliente al foco frío o sea transmisión de calor de la parte de la sopa más caliente (foco caliente) al aire (foco frío).

De esta manera la sopa se enfriará, quizás debido al movimiento de las moléculas se haya podido ganar un poco de calor, pero el calor perdido es mayor. Para que la temperatura aumentara revolviendo la sopa, se debería revolver con un número alto de revoluciones.

Y bueno esfinge espero que James y Boltzmann, no hayan terminado en una discusión jeje, por hay nos vemos y saludos.

[carmelo]

Convección natural vs Convección forzada

Hola a todos:

Analisis cualitativo del fenómeno

Consideremos a la sopa como nuestro sistema en estudio. Dado que la sopa está a una temperatura mayor que sus ambiente, existirá una transferencia de calor de esta a todo su entorno. En principio se debe de considerar todos las formas de transferencia de calor para tener una idea clara de cual de ellas predomina.
Por lo tanto debemos considerar:

• Conducción.
• Convección.
• Radiación.

La conducción se va a dar por los laterales del plato y por el fondo.
La radiación se va a dar fundamentalmente por la parte superior del plato.
La convección va a ocurrir en el seno de la sopa y en el aire que rodea el plato de la sopa.
Si bien los tres procesos actúan en este caso, básicamente el responsable de que la sopa se enfríe mas rápido cuando es agitada es la convección. Debemos distinguir entre convección natural y convección forzada. La convección natural es un proceso de transferencia de calor en el cual un aumento (disminución) local de la temperatura provoca una disminución (aumento) local de la densidad, por lo tanto van a existir fuerzas de flotabilidad (hundimiento) que van hacer que se establezca una circulación de masa a lo largo de todo el fluido, llevando consigo su cantidad de movimiento. En la convección forzada la transferencia de masa entre una parte y otra del líquido se da mediante un agitador u otro medio mecánico adecuado. Es dificil predecir en que grado puede afectar la transferencia de calor la convección forzada, pero lo que si se puede decir es que cuando la comparamos en igualdad de condiciones respecto a la convección natural, la convección forzada mejora la transferencia de calor.

Estimación de la cantidad de calor generado, por la agitación de la sopa

Si realizamos una agitación rítmica de la sopa como se menciona en el enunciado, quiere decir que se llega a un estado estacionario donde la pérdidas de energía cinética debido a la fricción se compensan con la energía mecanica suministrada mediante la agitación con la cuchara. Ahora llamemos $Ec_{ss}$ a la energía cinética en el "estado estacionario" y $f$ la fracción disipada en forma de calor debido al rozamiento en una vuelta.
Para poder hacer algo de números tomemos a modo de ejemplo las siguientes cantidades:
Diámetro promedio del plato $d_p\sim16cm$.
Masa de la sopa $m\sim300g$
Velocidad con que es agitada la sopa: $\omega\sim1rev/s\sim2\pi rad/s$
Se aproxima el movimiento de la sopa en el plato a un cilindro rígido con momento de inercia $I=\dst\frac12mR^2=9,6\times10^{-4}kg\cdot m^2$
En función de estas suposiciones se tiene que la energía disipada en forma de calor por unidad de tiempo es:
$\dst\dot{U_d}=\dst\frac12I\omega^2 f=0,019fJ/s$ donde $0<f<1$
Por lo tanto $\dst\dot{U_d}<0,019W <br />$
Como vamos a ver mas adelante, este valor puede ser despreciado con respecto al resto de las cantidades involucradas.

Estimación de la cantidad de calor cedida al ambiente.

Fig 1.

Para esto nos basamos en la figura mostrada. Es un plato de sopa algo atipico, pero se considera la forma cilindrica por simplicidad. Se despreciaran los efectos de borde que puedan haber presentes.
Se toman en cuenta las siguientes dimensiones y propiedades de los materiales. Las propiedades de la sopa se tomaran como iguales a las del agua.
$e_m\sim0,05m$: espesor de la mesa.
$k_m\sim0,13Wm^{-2}K^{-1}$: conductividad térmica de la mesa.
$e_a\sim0,004m$: espesor de la capa de aire que queda en el fondo del plato.
$k_a\sim0,02Wm^{-2}K^{-1}$: conductividad térmica del aire.
$e_f\sim0,01m$: espesor del fondo del plato.
$k_p\sim0,8Wm^{-2}K^{-1}$: conductividad térmica del plato.
$e_l\sim0,005m$: espesor del lateral del plato.
$a_p\sim0,01m$: distancia entre el fondo del plato y la interfase sopa-aire.
$d_p\sim0,16m$: diámetro del plato.

$\dst{ h_a^0\sim10Wm^{-2}K^{-1}}$: coeficiente de convección para aire en reposo.

$\dst {h_a^f}$: coeficiente de convección forzado para el aire.

$\dst {h_s^0\sim500Wm^{-2}K^{-1}}$: coeficiente de convección natural para la sopa.

$\dst {h_s^f}$: coeficiente de convección forzada para la sopa.

Ahora calculemos los coeficientes de transferencia de calor para el fondo $K_f$, los laterales $K_l$ y la parte superior $K_s$.

Convección natural:
$\dst\frac1K_f=\dst\frac{e_f}{k_p}+\frac{e_a}{k_a}+\frac{e_m}{k_m}+\frac1{h_s^0}+\frac1{h_a^0}\qquad K_f\sim1,43Wm^{-2}K^{-1}$

$\dst\frac1K_l=\dst\frac{e_l}{k_p}+\frac1{h_s^0}+\frac1{h_a^0}\qquad K_l\sim9,24Wm^{-2}K^{-1}$

$\dst\frac1K_s=\dst\frac1{h_s^0}+\frac1{h_a^0}\qquad K_s\sim 9,80Wm^{-2}K^{-1}$

Convección forzada:
Suponemos que el aire debajo de la mesa se mantiene en reposo:
$\dst\frac1K_f=\dst\frac{e_f}{k_p}+\frac{e_a}{k_a}+\frac{e_m}{k_m}+\frac1{h_s^f}+\frac1{h_a^0}\qquad K_f\sim1,43 Wm^{-2}K^{-1}$
donde, si bien no es significativo para los cálculos se usó $h_s^f\sim750Wm^{-2}K^{-1}$

Cuando agitamos la sopa el aire en los laterales se moverá un poco, pero no vamos a tener en cuenta este movimiento y supondremos que se mantiene en reposo.
El coeficiente de convección forzada para la sopa lo podemos escribir como:
$h_s^f=p\cdot h_s^0$ donde p es un número adimensional mayor que 1.
$\dst\frac1K_l=\dst\frac{e_l}{k_p}+\frac1{p\cdot h_s^0}+\frac1{h_a^0}\qquad K_l = \left(6.25\times10^{-3}+\frac{2\times10^{-3}}{p}+0,1\right)^{-1}Wm^{-2}K^{-1}$

Analogamente el coeficiente de convección para el aire se puede escribir como:
$h_a^f=q\cdot h_a^0$ donde q es un número adimensional mayor que 1.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora calculemos el calor cedido por unidad de tiempo en el instante inicial para la sopa agitada y la sopa sin agitar.

Supongamos que la temperatura de la sopa es de $80^\circ C$ y que la temperatura del ambiente es $20^\circ C$.

En ambos casos existirá calor cedido por radiación, que puede ser calculado como:
$\dot{q}=\epsilon\sigma A_s(T_s^4-T_a^4)$
Consideremos la emisividad de la sopa: $\epsilon\sim 0,9$
con lo que se tiene, que el calor emitido por unidad de tiempo debido a la radiación es:
$\dot{q}_{rad}=9,30W$

Consideremos la sopa sin agitar.
$\dot{q}_{total}=\dot{q}_{fondo+lat+sup}+\dot{q}_{rad}$
$\dot{q}_{total}=(K_fA_f+K_l A_l +A_s K_s)(T_s-T_a)+\dot{q}_{rad}$
$\dot{q}_{total}^{natural}=25,6W$

Consideremos la sopa agitada.
$\dot{q}_{total}=\dot{q}_{fondo+lat+sup}+\dot{q}_{rad}$
$\dot{q}_{total}=(K_fA_f+K_l A_l +A_s K_s)(T_s-T_a)+\dot{q}_{rad}$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Trabajemos esta última expresión para ver como varía en función de p y de q, Fig 2.

Fig 2.

Vemos que es más critico el aumento en el coeficiente de convección para el aire, que para la sopa.

Suponiendo que cada uno aumenta en un 50%, entonces el calor cedido en estas circunstancias sería.
$\dot{q}_{total}^{forzada}=31,6W$
Hay que tener en cuenta que cuando agitamos la sopa, tambien agitamos el aire que la circunda y es este el mayor responsable del aumento de la velocidad de enfriamiento. O sea que como practica para enfriar la sopa sería mas apropiado establecer una corriente de aire.

Como comentario final debemos tener en cuenta que a medida que disminuye la temperatura de la sopa el calor cedido por unidad de tiempo disminuye y por lo tanto la velocidad de enfriamiento también disminuye.
Sin cometer demasiado error se puede decir que:
$\dot{q}=C(T_s-T_a)$ donde $C$ es una constante positiva que contiene todos los procesos involucrados.
Si no hay cambios de estado podemos afirmar también:
$\dot{q}=-m_sc_s\dst\frac{\dd {T_s}}{\dd t}$ donde $m_s$ es masa de sopa y $c_s$ el calor especifico de la sopa.
y por lo tanto.
$\dst\frac{\dd {T_s}}{\dd t}=\dst\frac{-C}{m_sc_s}(T_s-T_a)$
de donde se puede concluir que:

$T_s=T_a+(T_s^0-T_a)e^{-\dst\frac{Ct}{m_sc_s}}$

Un calculo aproximado da que para la sopa sin agitar se tiene $C\sim0,4WK^{-1}$ y para la sopa agitada $C\sim0,5WK^{-1}$.
Con estos datos la curva de enfriamiento sería como se muestra en el gráfico Fig 3.

Fig 3

Saludos