Secundaria Duda en problema de cinética química

[Kuiper]

Buenos días! Acabo de empezar el tema de cinética química en el instituto y hoy haciendo un problema, supongo que facilísimo, me ha surgido una pequeña duda. El problema dice lo siguiente:

La descomposición de la sustancia A sigue una cinética de segundo orden, donde [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Si ${[A]}_{0 }=0,5mol/L$, obtén [A] cuando hayan transcurrido 3 segundos.

Lo que yo he pensado es esto:
-Si la reacción es de segundo orden significa que $v=k\cdot{[A] }^{2 }$
-Se puede sacar fácilmente la solución mediante la fórmula: $[A]={[A]}_{0}\cdot{e}^{-k\cdot t}$. Por lo tanto, $[A]=0,5\cdot {e}^{-0,82\cdot 3}=0,0427 mol\cdot L$

Mi duda es: si se puede sacar la solución mediante la fórmula, ¿por qué me dice el enunciado que la reacción sigue una cinética de segundo orden?
He supuesto que quizás pueda ser útil la ecuación cinética para comprobar el resultado, pero no sé cómo hacerlo.

Edito para no abrir un nuevo hilo .

Otro problema dice así:

En el proceso de $A + 2B \to C + 3D$, la velocidad inicial de la reacción es $4 mol\cdot {L}^{-1} \cdot {s}^{-1 }$. Calcula las velocidades iniciales de consumo de A y B, y las velocidades iniciales de formación de C y D.

A partir de la fórmula de la velocidad global: ${v}_{0 } = -\frac{1}{a } \cdot \frac{\mathrm{d}[A] }{\mathrm{d}t }$
despejo:
$\frac{\mathrm{d} [A]}{\mathrm{d}t } = -a\cdot {v}_{0 }$

y ahora puedo sacar la velocidad de A con la fórmula de la velocidad de cada reactivo:
${v}_{A } = \frac{\mathrm{d} [A]}{\mathrm{d}t } = -a\cdot {v}_{0 } = -1\cdot 4 = -4 mol/L\cdot s$.

Esto lo aplicaría al resto de sustancias y quedaría:
${v}_{B }=-8mol/L\cdot s ; {v}_{C }=4mol/L\cdot s ; {v}_{D }=12mol/L\cdot s$

Y resulta que cuando resolvimos el problema en clase, el profesor dijo: "la velocidad es la misma para todos, por lo tanto, la velocidad de A, B, C y D es 4". Pero yo estoy completamente seguro de lo contrario, en las gráficas se puede observar perfectamente que no todas las concentraciones varían con la misma rapidez. De lo que no estoy seguro es de si lo que he hecho es el método correcto para sacar la velocidad de cada uno y de si debo poner el signo negativo a los que se consumen.
Gracias por vuestro tiempo!

[angel relativamente]

Re: Duda en problema de cinética química

Hola Kuiper
Te daré unas pistas para hacerte pensar:

Problema 1:

¿Sabrías demostrar de dónde sale la fórmula $[A]={[A]}_{0}\cdot{e}^{-k\cdot t}$ ?
Si lo haces, te darás cuenta de por qué es incorrecto usarla en este ejercicio.

Problema 2:

Y resulta que cuando resolvimos el problema en clase, el profesor dijo: "la velocidad es la misma para todos, por lo tanto, la velocidad de A, B, C y D es 4". Pero yo estoy completamente seguro de lo contrario, en las gráficas se puede observar perfectamente que no todas las concentraciones varían con la misma rapidez. De lo que no estoy seguro es de si lo que he hecho es el método correcto para sacar la velocidad de cada uno y de si debo poner el signo negativo a los que se consumen.

Pues no quisiera ser yo quien contradijese a tu profesor, pero según veo tienes toda la razón:
Es más que evidente que si:

$v=\dfrac {-1}a \cdot \dfrac{d[A]}{dt}=\dfrac {-1}b \cdot \dfrac{d[B]}{dt}=\dfrac {1}c \cdot \dfrac{d[C]}{dt}=\dfrac 1d \cdot \dfrac{d[D]}{dt}$

Solo se cumple que:

$\dfrac{d[A]}{dt}=\dfrac{d[B]}{dt}= \dfrac{d[C]}{dt}=\dfrac{d[D]}{dt}$

En el caso de:

$\dfrac {1}a=\dfrac {1}b =\dfrac {1}c =\dfrac 1d$

Pero como no es el caso del ejercicio, no es correcto lo que dice el profesor.

El método que has realizado para calcular las velocidades es totalmente válido, y los resultados coinciden con los míos. Respecto a los signos, sí, es necesario ponerlos en los reactivos que se consumen, aunque su función es meramente indicar eso, que se ha consumido.

Un saludo

[arivasm]

Re: Duda en problema de cinética química

Voy a ayudar un poco con la primera parte, teniendo en cuenta que dices que eres de instituto (¿de verdad?, caray qué nivel!).

-Si la reacción es de segundo orden significa que $v=k\cdot{[A] }^{2 }$
-Se puede sacar fácilmente la solución mediante la fórmula: $[A]={[A]}_{0}\cdot{e}^{-k\cdot t}$. Por lo tanto, $[A]=0,5\cdot {e}^{-0,82\cdot 3}=0,0427 mol\cdot L$

La solución que pones no satisface la ecuación diferencial $-\dd [A]/\dd t=k[A]^2$. Fíjate que en este caso la integración correspondiente es

$\dst -k \int_0^t \dd t= \int_{[A]_0}^{[A]} \frac{\dd [A]}{[A]^2}$

Sobre la segunda parte, o bien el profe se equivocó o bien entendisteis mal lo que os dijo. Sólo si los coeficientes estequiométricos son iguales también lo son las velocidades. Es obvio que si un reactivo B tiene un coeficiente estequiométrico doble del de otro A, como por cada mol de A que reaccione reaccionarán 2 de B es evidente que B se consume al doble de velocidad que A.

A mi me gusta plantearlo de este modo: si en un bar hacen sólo sandwiches de jamón y usan para cada uno dos rebanadas de pan y una loncha de jamón (es un bar cutre), el pan se agotará al doble de velocidad que el jamón; si consumen 20 lonchas de jamón/día, consumirán 40 rebanadas de pan/día.

[angel relativamente]

Re: Duda en problema de cinética química

La solución que pones no satisface la ecuación diferencial $-\dd [A]/\dd t=k[A]^2$. Fíjate que en este caso la integración correspondiente es

$$\dst -k \int_0^t \dd t= \int_{[A]_0}^{[A]} \frac{\dd [A]}{[A]^2}$$

Muchas pistas das tú

De hecho, yo no dí las reacciones de segundo orden en el temario, aunque me las estuve mirando para la olimpiada.
Pero si sabes demostrar la primera, no es nada difícil demostrar la segunda.
Pregunta si tienes dudas con la integración.

Saludos

[Kuiper]

Re: Duda en problema de cinética química

Muchas gracias a los dos

¿Sabrías demostrar de dónde sale la fórmula $[A]={[A]}_{0}\cdot{e}^{-k\cdot t}$ ?
Si lo haces, te darás cuenta de por qué es incorrecto usarla en este ejercicio.

Creo que ya he averiguado de dónde sale la fórmula: de la integración de la ecuación cinética.
La fórmula que he utilizado resulta de integrar la ecuación cinética de primer orden, ¿verdad?
Todavía no tengo suficiente conocimiento en el cálculo integral para deducir la fórmula de $v=k\cdot {[A]}^{2}$. Supongo que no será muy difícil así que me gustaría que me ayudarais. Creo que la cosa irá por:

${{\int}_{0} }^{t} k\cdot {[A]}^{2}\dd t$

Sé que finalmente llegaríamos a la expresión $[A]=\frac{{[A]}_{0} }{(1+{[A]}_{0}\cdot k \cdot t)}$
Pero no tengo mucha idea...

Gracias nuevamente!

[angel relativamente]

Re: Duda en problema de cinética química

Efectivamente, la primera fórmula resulta de integrar la ecuación cinética de primer orden. Si quisiéramos integrar la de segundo orden, procederíamos del siguiente modo:

Si $v=k[A]^2$

Entonces:

$-\dfrac{d[A]}{dt}=k[A]^2$

Reorganizando:

$\dfrac{1}{[A]^2}\; d[A]=-k\; dt$

Integrando en ambos miembros:

$\dst \int_{[A_0]}^{[A]} [A]^{-2}\; d[A] = -k\dst \int_0^t \; dt$

$\left[ -\dfrac{1}{[A]} +C\right]_{[A_0]}^{[A]}=-k \; [t+C]_0^t$

$-\dfrac{1}{[A]}-\left(-\dfrac{1}{[A_0]} \right)=-kt$


$\boxed{\dfrac 1{[A]}- \dfrac 1{[A_0]}=kt}$

En teoría se suele dejar así, pero si te apetece seguir operando para despejar la [A], haz común denominador y verás que llegas a la expresión que has dicho:

$[A]=\dfrac{[A_0]}{[A_0]kt+1}$

Saludos

Y pregunta si ves que he sido poco explícito en algún paso

[Kuiper]

Re: Duda en problema de cinética química

Bien, gracias Ángel, lo he entendido perfectamente.
Ahora he deducido la fórmula de la ecuación cinética de primer orden, he intentado escribirla pero he estado teniendo problemas con Latex a la hora de escribir las integrales. Me salen como en mi anterior mensaje, ¿cómo las puedo hacer como vosotros? He leído el hilo de "Cómo introducir ecuaciones en los mensajes" pero sigo igual...

[angel relativamente]

Re: Duda en problema de cinética química

Kuiper, para cuando tengas una duda de cómo se ha escrito cierta ecuación en $\LaTeX$, basta con que hagas doble click en la ecuación y te sale el código que hay que insertar.

Para escribir una integral, basta con poner \int , quedando algo así: $\int$

Si quieres que esté definida, has de escribir \int_{a}^{b} : $\int_{a}^{b}$

que es distinto de poner lo que tú habías puesto {\int_{a}}^{b} : ${\int_{a}}^{b}$ , ya que estabas elevando la integral con el subíndice.

Si además quieres que la integral se vea grande y hermosa, has de escribir antes el comando \dst:

\dst \int_{a}^{b} $\dst \int_{a}^{b}$


El comando \dst es útil para que quede grande y hermosa cualquier ecuación. Sirve para ponerla delante de una fracción, delante de una raíz... En las fracciones, para simplificar, en lugar de poner \dst \frac puedes poner \dfrac. Observa la fracción que tú has puesto y la que he puesto yo:

[A]=\frac{{[A]}_{0} }{(1+{[A]}_{0}\cdot k \cdot t)} $[A]=\frac{{[A]}_{0} }{(1+{[A]}_{0}\cdot k \cdot t)}$

[A]=\dfrac {[A_0]}{[A_0]kt+1} $[A]=\dfrac {[A_0]}{[A_0]kt+1}$

Bueno no me enrollo más, espero que te haya servido estos detalles de $\LaTeX$

Quedo a la espera de ver la integración de la de primer orden

Saludos

[Kuiper]

Re: Duda en problema de cinética química

¡Qué bien me viene toda esa información! Procedo a integrar:

Partimos de $v=k\cdot [A]$

$-\dfrac{\mathrm{d}[A] }{\mathrm{d}t}=k\cdot [A]$

$\dfrac{\mathrm{d}[A] }{ [A]} = -k \cdot \; \dd t$

$\dst \int_{{[A]}_{0}}^{[A]} \frac{1}{[A]} \; \dd [A]=-k \dst \int_{0}^{t} \; \dd t$

$\left [ln[A]+C \right]_{{[A]}_{0}}^{[A]}=-k \dst \left[t+C \right]_{0}^{t}$

$ln[A]-ln[A]_{0}=-k t$

Aplicando propiedades de logaritmos:

$ln\dfrac{[A]}{[A]_{0}} = -kt$

$\dfrac{[A]}{[A]_0} = {e}^{-kt}$

$\boxed{[A]=[A]_{0}\cdot e^{-kt}}$

Por fin, hace una hora que estoy escribiendo y averiguando sobre $\LaTeX$.
Aunque todavía me faltaría hacer más grandes los corchetes de la línea 6...
Creo que ahora entiendo mejor para qué sirven las integrales, he aprendido mucho hoy.

[angel relativamente]

Re: Duda en problema de cinética química

Perfecto

Aunque todavía me faltaría hacer más grandes los corchetes de la línea 6...

Hasta donde yo sé, no pueden hacerse más grandes. Para que salgan con el tamaño adecuado has de ponerlos (y veo que así lo has hecho) con \left[ \right]

Así, si por ejemplo tienes una fracción

\left [ \dfrac ab \right] $\left [ \dfrac ab \right]$

Se hacen grandes ellos solos porque la fracción lo exige. Pero si lo de dentro no es una fracción, tampoco hay necesidad de que queden más grandes, pone el tamaño por defecto.

Creo que ahora entiendo mejor para qué sirven las integrales, he aprendido mucho hoy

Me alegro

Un saludo

[Kuiper]

Re: Duda en problema de cinética química

Vale, ya lo entiendo
Por cierto, la fórmula que me sale, $[A]=[A]_{0}\cdot e^{-kt}$, me suena mucho a la fórmula de absorción en el movimiento ondulatorio, $I={I}_{0} \cdot {e}^{-\beta x }$.

Supongo que esto significará que ambas parten del mismo sitio, corregidme si me equivoco.

Mi libro dice que la disminución de la intensidad que tiene lugar en la onda es directamente proporcional a la intensidad de la onda y al espesor del medio que atraviesa. Es decir:
$-\dd I=\beta \cdot I \cdot \dd x$

¿Podríamos decir lo mismo de la concentración?
"La disminución de la concentración es directamente proporcional a la concentración inicial y a la constante cinética."

Si lo podemos decir, esto significará que podemos aplicar la misma fórmula a muchos otros fenómenos. Por lo tanto no serán los únicos casos en los que vea la misma fórmula en cuanto a su forma.

Hoy he aprendido que las integrales sirven, entre otras cosas, para estudiar cómo varía un "factor" (no se como llamarlo) en función de otros parámetros. Es triste que no nos enseñen la esencia de las fórmulas y nos machaquen a hacer integrales y derivadas sin saber para qué sirven...

[Kuiper]

Re: Duda en problema de cinética química

Hola de nuevo compañeros!
Tras las respuestas al segundo problema, he decidido volver a hablar con el profesor.
Como dije, él afirmaba que la solución del problema era $4 mol \cdot L^{-1} \cdot s^{-1}$ para todos y cada uno de los reactivos y productos.

Yo le he dicho que, puesto que las concentraciones varían con respecto al tiempo de distinto modo en unos elementos que en otros, la velocidad de cada uno será diferente.
Pero mi profesor está empeñado en que solamente haga caso de la fórmula de $v= - \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{d[A]}{dt}$.

Después he recurrido a la definición de velocidad de reacción que viene en el libro: "La velocidad de reacción es el cambio que experimenta la concentración de un reactivo o de un producto con respecto al tiempo". Con esto creía haber argumentado suficientemente mi tesis, pero no.

Según él esta definición está mal expresada y debería ser: "La velocidad de reacción es la variación temporal instantánea y con signo positivo de la concentración molar de un reactivo o producto, dividida por su coeficiente estequiométrico en la reacción". Esta definición se encuentra en la siguiente página del libro, por lo que quedaba anulado mi argumento .__.

Al final de todo ha reflexionado un poco y ha comentado que lo de las velocidades iniciales de consumo y de formación puede resultar un poco confuso. Pero por supuesto no me ha dado la razón xD. Quiere que cambie mi concepto de velocidad de reacción por la segunda definición.
Afirma que el libro ha expresado mal el problema, y que debería preguntar por la velocidad de reacción y no de combustión o formación.

En mi opinión, creo que tenemos razón los dos, pero que lo que el problema pregunta es lo que he contestado yo. ¿Qué opináis?

Un Saludo,
Kuiper

[arivasm]

Re: Duda en problema de cinética química

Hola Kuiper

Debo decir que tiene razón tu profesor. Como sabes, el organismo que regula las definiciones de los conceptos químicos es la IUPAC. En su Compendio de Terminología Química definen (hay que buscar en la R "rate of reaction") la velocidad de reacción como dice tu profesor, con lo cual no debería caber más discusión y, por mi parte, reconocer mi error y pedirte disculpas por haberte ayudado incorrectamente.

De todos modos, permíteme mi pequeño pataleo (hacia la IUPAC). Es verdad que con esta definición la velocidad de reacción es independiente del reactivo o producto que empleemos para medirla. Ahora bien, la escritura de una reacción a priori no es única: tan válido es escribir $2 A \to B$ como $4 A \to 2 B$ o $A \to \frac{1}{2} B$, con lo que la definición de la velocidad de reacción no será la misma, y entonces única.

Evidentemente, eso no puede ser así, lo que significa que *debe* haber alguna regla acerca de la escritura de la estequiometría.

Está claro que si hablamos de reacciones elementales, es decir, aquéllas que expresan el proceso que sucede realmente entre moléculas, la estequiometría deberá reflejarlas. Me refiero, por ejemplo, al famoso $I_2+H_2 \to 2 HI$. El problema está en aquellos casos en que la reacción no transcurre en un solo paso (es decir, la inmensa mayoría de los ejemplos!). Prometo indagar sobre ello.

Saludos!

[Kuiper]

Re: Duda en problema de cinética química

Hola Kuiper

Debo decir que tiene razón tu profesor. Como sabes, el organismo que regula las definiciones de los conceptos químicos es la IUPAC. En su Compendio de Terminología Química definen (hay que buscar en la R "rate of reaction") la velocidad de reacción como dice tu profesor, con lo cual no debería caber más discusión y, por mi parte, reconocer mi error y pedirte disculpas por haberte ayudado incorrectamente.

Cierto, se me olvidó incluir en mi anterior post que el profesor dijo que la definición de velocidad de reacción es esa y no otra.
A parte de esto, lo que se pregunta es la velocidad específica (de formación y consumo) de cada reactivo y producto, no la velocidad de reacción. Si es así supongo que la solución está bien.
Pero, según lo que estamos diciendo hoy, si preguntara la velocidad de reacción de cada uno de los elementos de la reacción, la contestación sí que sería 4 para todos, ¿cierto?

Un Saludo

[arivasm]

Re: Duda en problema de cinética química

si preguntara la velocidad de reacción de cada uno de los elementos de la reacción, la contestación sí que sería 4 para todos, ¿cierto?

No. La velocidad de reacción (que no es un concepto que se defina para las substancias que participan, sino para la reacción) sería 4 mol/(L·s). El ritmo de aparición o desaparición de cada substancia sí tendría en cuenta el coeficiente estequiométrico: A desparecerá a 4 mol/(L·s), B lo hará a 8 mol/(L·s), etc.