2o ciclo Subir y bajar de estado y pozo

[rruisan]

Si tengo el Hamiltoniano del oscilador donde m=h=w=1,entonces:

$H=a^+a+\frac{1}{2}$

donde $a=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+ip)\,\,\, a^+=\frac{1}{\sqrt{2}}(x-ip)$

donde una funcion esta dado por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Mi duda es como puedo sacar $\psi_{a+1}$ y la $\psi_{a-1}$

Tambien tengo duda de como hacer esto:
Una partícula de masa m se mueve en una dimensión se limita a la región $0<x<L$por un pozo cuadrado infinito potencial. Además, la partícula experimenta una función potencial de la fuerza del delta $\lambda$ situado en el centro del pozo. Encontrar una ecuación trascendente para la energía E en términos de valores propios de la masa m, la fuerza potencial $\lambda$ y L el tamaño del sistema.

Para este problema pienso que es pozo donde adentro de el, justo a la mitad hay una barrera de potencial en donde mi pontencial seria:

$V(x)=\infty x<0 \quad 0<x\frac{L}{2} \quad 0\frac{L}{2}x<L \quad \infty x>\frac{L}{2}\quad \lambda\delta(x-\frac{L}{2}) x>0$

Anque no se si esto bien y no se como resolverlo!

Gracias de antemano

[Jose D. Escobedo]

Re: Subir y bajar de estado y pozo

Para $\psi_{a+1}$ se tiene que aplicar "the raising operator" $\Rightarrow$

$a^+ |\psi> = \psi_{a+1}$

para $\psi_{a-1}$ "the lowering operator" $\Rightarrow$

$a |\psi> = \psi_{a-1}$

En la segunda pregunta
creo que el enunciado se refiere a un delta potential dentro de un pozo cuadrado infinito.
Entonces tienes que trabajar 2 zonas y tomar las condiciones de contorno.

$\psi_1 = 0$ cuando x=0...(1) para $[0,\frac{L}{2})$

$\psi_1= \psi_2$ para x= L/2 ...(2)

$\psi_2 = 0$ cuando x= L ...(3) para $(\frac{L}{2}, L]$

y finalmente la condicion de descontinudad de $\psi'$ producida por el "delta potential" cuando x= L/2

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}(\psi_1' - \psi_2') + \lambda \int_{\frac{L}{2} - \epsilon}^{\frac{L}{2} + \epsilon} \delta (x - \frac{L}{2}) \psi(x) dx = \int_{\frac{L}{2} -\epsilon}^{\frac{L}{2} +\epsilon} E \psi (x) dx= 0$

Espero que hayan sido buenas sugerencias.
Saludos
Jose