2o ciclo Hamiltoniano de Dirac

[rruisan]

Buenas tardes! tengo estos problemas que no he podido resolver les agradeceria cualquier sugerencia! Gracias de antemano!

1.- Demuestre que $[\widehat{H},\vec{a}\cdot \sigma]=-2ic\alpha\cdot (p\times a)$ para $\vec{a}$ un vector fijo $\widehat{H}$ el hamiltoniano de Dirac de particula libre.

2.- Demuestre que a partir del hamiltoniano de Dirac con acoplamiento minimal (con unidades $c=\hbar=1)$

$\widehat{H}_D=\alpha\cdot \pi + \beta m+ e\phi$

con
$\pi=\vec{p}-\frac{e}{c}\vec{A}$

se sigue que

$\dot{\vec{r}}=\alpha$, $\ddot{\vec{r}}=\dot{\alpha}=2i[\pi-\alpha(\widehat{H}_D-e\phi)]$, $\dot{\pi}=e\vec{E}+e\alpha\times \vec{B}$

Notese que la fuerza de Lorentz se expresa en terminos de $\alpha$

[rruisan]

Re: Hamiltoniano de Dirac

Una disculpa por lo de secundaria me equivoque al pulsar!

[Entro]

Re: Hamiltoniano de Dirac

¿Qué problemas tienes?

Para la parte 1) tienes que coger el hamiltoniano de Dirac libre y calcular el conmutador. Lo único que tienes que tener en cuenta son las reglas de conmutación de dicho Hamiltoniano con las matrices de Pauli. ¿Cómo es el Hamiltoniano de la partícula libre?
Para la parte 2) Aplica la definición

$\frac{dA}{dt}=[A,H]$

(no sé si lleva un signo menos por ahí delante del conmutador, siempre se me pierden los signos) donde A es un operador cualquiera.

Te calculas esos conmutadores y tienes la evolución temporal de los operadores que tu quieras.

[rruisan]

Re: Hamiltoniano de Dirac

Gracias Entro! aun no se como empezar! se que $\widehat{H}=i\hbar c\alpha\cdot\nabla-\beta mc^2$ donde $\beta^2=\alpha^2=1$ , no estoy muy seguro si la propiedad que tengo que utilizar para este caso es $[A,B]=AB-BA$

Te agradeceria si me puedes explicar un poco mas, igual no se como sacar el producto cruz que viene como resultado! Gracias de antemano!

[Entro]

Re: Hamiltoniano de Dirac

La alpha y la beta son matrices, calcula el conmutador (que es la expresión que has puesto por componentes) y luego verás como te sale la definición de producto cruz o producto vectorial.

[rruisan]

Re: Hamiltoniano de Dirac

El problema 2 no lo he podio hacer te pido de favor si no es mucha molestia si me puedes explicar un poco mas! esa derivada que pones no se para que es! Gracias de antemano!

[Entro]

Re: Hamiltoniano de Dirac

Eso lo único que significa es que para conocer la evolución temporal de un operador A, simplemente tienes que calcular su conmutador con el Hamiltoniano del sistema que corresponda. Es la típica evolución temporal en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica.

[rruisan]

Re: Hamiltoniano de Dirac

Entonces para poder demostar esto tengo que usar $\frac{dA}{dt}=[A,H]$ y meto este hamiltoniano $H=\alpha\cdot\pi+\beta m+e\phi$ o es este hamiltoniano que tengo que demostrar! no se quien seria $A$! aun no se como comenzar!

[Entro]

Re: Hamiltoniano de Dirac

Para calcular $\dot{\vec{r}}=\frac{d \vec{r}}{dt}$ tienes que calcular $[\vec{r},H]$

y lo mismo con los otros operadores

[rruisan]

Re: Hamiltoniano de Dirac

Como? entonces para calcular $\dot{r}$ primero calculo el conmutador de $[r,H]$ y esto para que disculpa! entonces el conmutador seria $[r,\alpha\cdot\pi+\beta m+e\phi]=r(\alpha\cdot\pi + \beta m+e\pi)-(\alpha\cdot\pi+\beta m +e\pi)r$ y de ahi que hago! disculpa la molestia y gracias de antemano!

[Entro]

Re: Hamiltoniano de Dirac

Calcular la derivada temporal ES calcular ese conmutador.

Esencialmente tienes que saber que las posiciones no conmutan con los momentos, pero conmutaran con la masa y con beta que son números, y el potencial \phi depende de la posición usualmente, así que también conmuta,
así que al final te queda \alpha[posicion, momento] y eso suele dar la identidad no???

[rruisan]

Re: Hamiltoniano de Dirac

lo seguire intentando gracias!

[rruisan]

Re: Hamiltoniano de Dirac

Buenas noches! De casualidad alguien me puede explicar como sacar el campo electrico y el producto cruz de $\dot{\pi}=e\vec{E}+e\alpha\times \vec{B}$ que he hecho es esto:

$\pi,H=[P-eA,\alpha(P-eA)+\beta m+e\phi$

Donde me queda:

$[P,P]=0$

$[P,A]$

$[P,\beta]$=0

$P,\Phi$=0

[A,P]

[A,A]=0

$[A,\phi]=0$

[Entro]

Re: Hamiltoniano de Dirac

Vamos a ver:

El momento P son las derivadas de toda la vida ¿no?

Calcula el conmutador de P con A y el conmutador de P con \phi. Ten en cuenta que P es un vector, así que es mejor que lo hagas por componentes.