2o ciclo Conmutador

[rruisan]

Buenas tarde! tengo el siguiente problemas que no he podido resolver les agradeceria cualquier comentario o sugerencia:

Considere:

$H=\frac{1}{2m}P^2+\frac{1}{2}mw^2r^2$ y $H_z=\frac{P^2_Z}{2m}+\frac{1}{2}mw^2z^2$

calcule

$[H,H_z]$

lo que hice es esto:

$\frac{1}{2m}[P^2+m^2w^2r^2,P^2_Z+m^2w^2z^2]$$=\frac{1}{2m}[P^2,P^2_z]+[P^2,z]m^2w^2+m^2w^2[r^2,P^2_z]+m^4w^2$


pero no se cuanto dan estos conmutadores!

Tambien tengo que hacerlo para $[L,H_z]$ Nose cuanto da este conmutador!

Gracias de antemano!

[Entro]

Re: Conmutdor

Tienes que recordar:

$[x,p_x]=i\hbar$ Lo mismo pasa para las componentes y, z de las posiciones y momentos.

$[y,p_y]=[z,p_z]=i\hbar$

Cualquier otra combinación de componentes de las posiciones y los momentos darán conmutadores nulos, por ejemplo $[x,p_y]=[x,z]=[p_x,p_y]=...=0$

Luego tienes que recordar que los conmutadores son lineales en las dos entradas y algunas propiedades como

$$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$$

Además $p^2=p_x^2+p_y^2+p_z^2$ y $r^2=x^2+y^2+z^2$.

Repasa la descomposición que has hecho y luego sustituye los cuadrados por su expresión en coordenadas, recuerda que $x^2=xx$ en términos de operadores, así que puedes aplicar la regla (1)

Respecto al segundo conmutador que pones $[L,H_z]$ no será $L^2$ recuerda que $L^2=L_x^2+L_y^2+L^2_z$ y que las componentes del momento angular se escriben como: $L_z=xp_y-yp_x$ y el resto se obtiene por permutaciones cíclicas de x, y, z.

[rruisan]

Re: Conmutdor

Entonces $[P^2,z]=0$ y $[P^2,P^2_z]=0$ Esque me confunde un poco los indices! y para el segundo conmutador solo es $L$

[Entro]

Re: Conmutdor

Veamos: $[x,P_x]=i\hbar$

Subíndices: El momento es un vector, por lo tanto tiene tres componentes así que usamos x,y,z, para saber de qué componente estamos hablando $\vec{P}=P_x\vec{i}+P_y\vec{j}+P_z\vec{k}$, donde por ejemplo:

$P_x=-i\hbar\frac{d}{dx}$

Por lo tanto:

$[P^2,z]=[P_x^2+P_y^2+P_z^2<br /> ,z]$ desarrollas y calculas...

$L$ ó $\vec{L}$?

Es un problema? puedes poner el enunciado?

[rruisan]

Re: Conmutdor

ya lo desarrolle me queda: $P[P,P^2_z]+[P,P^2_z]P_z=P\{[P,P_z]P_z+P_z[P,P_z]\}$ Pero no estoy muy seguro de cuanto son estos conmutadores!

[Entro]

Re: Conmutdor

Vamos a ver, voy a hacerlo yo paso a paso en contra de todas mis creencias porque creo detectar que tienes muchas lagunas al respecto... ¿Estas estudiando física cuántica por tu cuenta?

Tenemos $H=\frac{1}{2m}P^2+\frac{1}{2}mw^2r^2<br />$ y $H_z=\frac{P^2_Z}{2m}+\frac{1}{2}mw^2z^2<br />$

Esto se puede resolver de varias formas, algunas son muy directas y saltan muchos pasos, así que lo voy a hacer pormenorizadamente:

$[H,H_z]=[\frac{1}{2m}P^2+\frac{1}{2}mw^2r^2,\frac{P^2_Z}{2m}+\frac{1}{2}mw^2z^2]=$

Por linealidad nos quedará:

$=[\frac{1}{2m}P^2,\frac{P^2_Z}{2m}+\frac{1}{2}mw^2z^2]+[\frac{1}{2}mw^2r^2,\frac{P^2_Z}{2m}+\frac{1}{2}mw^2z^2]=$

Volvemos a aplicar linealidad:

$=[\frac{1}{2m}P^2,\frac{P^2_Z}{2m}]+[\frac{1}{2m}P^2,\frac{1}{2}mw^2z^2]+[\frac{1}{2}mw^2r^2,\frac{P^2_Z}{2m}]+[\frac{1}{2}mw^2r^2,\frac{1}{2}mw^2z^2]=$

Por la misma propiedad, linealidad, sacamos las constantes fuera:

$=\frac{1}{4m^2}[P^2,P_z^2]+\frac{1}{4}\omega^2[P^2,z^2]+\frac{1}{4}\omega^2[r^2+P_z^2]+\frac{1}{4}m^2\omega^4[r^2,z^2]$

Tomemos cada conmutador por separado, luego lo introduciremos y sumaremos para resolverlo.

Primer conmutador:

$[P^2,P_z^2]=[P_x^2+P_y^2+P_z^2,P_z^2]=[P_x^2,P_z^2]+[P_y^2,P_z^2]+[P_z^2,P_z^2]$

Ahora como sabemos que $[P_x,P_y]=[P_y,P_z]=[P_x,P_z]=0$ y que si dos operadores A y B conmutan entonces también conmutarán cualquier función de los mismos $[A,B]=[f(A),f(B)]=0$. Por tanto los cuadrados de las componentes del momento conmutan entre sí.

$[P^2,P_z^2]=0$

Segundo conmutador:

$[P^2,z^2]=[P_x^2+P_y^2+P_z^2,z^2]=[P_x^2,z^2]+[P_y^2,z^2]+[P_z^2,z^2]$

Como sabemos, $[x,P_x]=i\hbar=[y,P_y]=[z,P_z]$, y el resto de combinaciones de componentes coordenadas y componentes del momento tienen conmutador nulo. Por lo tanto el único conmutador que no dará cero será:

$[P_z^2,z^2]$

Ahora aplicamos al conmutador $[P_zP_z,z^2]$ la propiedad $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$

$[P_zP_z,z^2]=P_z[P_z,z^2]+[P_z,z^2]P_z$

Ahora al conmutador $[P_z,z^2]=[P_z,zz]$ aplicamos la propiedad $[A,BC]=B[A,C]+[B,C]A$

$[P_z,zz]=z[P_z,z]+[P_z,z]z$

Como $[z,P_z]=i\hbar$, y sabiendo que $[A,B]=-[B,A]$ tenemos que $[P_z,z]=-i\hbar$.

Por lo tanto:

(conmutador corregido)

$[P_z^2,z^2]=P_z z[P_z,z]+P[P_z,z]z+z[P_z,z]P_z+[P_z,z]zP_z<br />$

Ahora con estos ejemplos hechos deberías de ser capaz de terminarlo... si tienes algún problema lo comentas...

[rruisan]

Re: Conmutdor

Muchas gracias por la ayuda! Para la ultima que haces la intente hacer como me explicas pero me queda diferente:

$[P^2,z^2]=P[P,z^2]+[P,z^2]P=Pz[P,z]+P[P,z]z+z[P,z]P+[P,z]zP=-4\hbar Pz$

[Entro]

Re: Conmutdor

Si, me despisté:

$[P_z^2,z^2]=P_z z[P_z,z]+P[P_z,z]z+z[P_z,z]P_z+[P_z,z]zP_z$

Pero, en tu solución,

a) No te olvides del subíndice que indica la componente del momento con la que estas trabajando.
b) te tienen que salir dos términos $-2i\hbar P_z z-2i\hbar zP_z$

Como $[z,P_z]\neq 0$ $P_z z\neq zP_z$.

Si quieres agrupar tienes que tomar unos de los términos, por ejemplo el $P_z z$ y darle la vuelta usando el conmutador:

$[z,P_z]=i\hbar=zP_z - P_z z$

tenemos: $P_z z=zP_z -i\hbar$

Sólo tienes que sustituir arriba....