2o ciclo Eigenspinors

[Trollx]

Holas tengo dudas con un problema de cuantica, me piden encontrar los eigenspinors de una matriz de 2x2, antes de poder resolver el problema, tengo que saber que es un spinors y luego que es un eigenspinors, alguien puede darme alguna aclaración sobre estos conceptos.

Y el problema es: Encontrar los eigenspinors normalizados de la siguiente matriz
$\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha e^{-i \beta}\\ \sin \alpha e^{i\beta}& \cos \alpha \end{pmatrix}$

[Sartie]

Re: Eigenspinors

http://en.wikipedia.org/wiki/Spinor

EigenSpionor es el autovalor del spinor. Para saber mas sobre autovalores o valores propios repasa las lecciones de algebra.

[GNzcuber]

Re: Eigenspinors

Mira, si yo pensaba responder sobre los valores propios, pero como era cosa de cuántica no me he metido.

Para empezar debemos recordar qué es una aplicación en un espacio vectorial u homomorfismo: Es la asignación por medio de una regla o relación entre dos espacios vectoriales, de manera que los elementos del primer espacio tengan todos un correspondiente (y éste tiene que ser único) del espacio de llegada.

$$\dst a\,\in\, \bold{A}\, ,\, b\in\, \bold{B}\Rightarrow\begin{aligned} \bold{A}\longrightarrow\bold{B}\\ a\longmapsto b\end{aligned}$$

Cuando el espacio de partida y llegada es el mismo la aplicación se dice endomorfismo.

$$\dst \bold{A}\longrightarrow\bold{B}\, ,\, \bold{A}=\bold{B}\Longrightarrow \quad endomorfismo$$

Una aplicación la podemos representar mediante una matriz si tenemos definida una base. En un automorfismo lo normal es coger la misma base de partida y llegada. Pero esta matriz asociada a un automorfismo variará según la base que escojamos. Nos interesaría una base de tal manera que su matriz asociada sea una matriz diagonal ¿Por qué? Porque es más fácil de ver qué estás operando y tiene otras propiedades algebraicas que simplifican ciertos cálculos.

Sea $\dst B$ una base en la que está expresada $\dst f$, su matriz asociada es:

$$\dst M_{nm}(f\, ,\, B)=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}\right)$$

Pero buscaremos una base $\dst V$ de tal forma que la matriz asociada al endomorfismo se puede escribir como:

$$\dst M_{nn}(f\, ,\, V)=\left(\begin{matrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_2&\cdots &0\\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ 0 &0&\cdots &\lambda_n\end{matrix}\right)$$

Como es un endomorfismo ahora m es igual a n (la dimensión debe ser la misma, ya que es el mismo espacio).

Los valores $\dst \lambda_i$ son autovalores, valorespropios o eigenvalores, como quieras llamarlos . Cuando encuentres la base $\dst V$, los vectores que la componen (vectores propios, autovectores o eigenvectores) al aplicarles la función f, obtienes como resultado un múltiplo de éste vector. Ese múltipo puedes ver que es el valor propio que le corresponde.

¿Cómo se obtienen los valores propios? Mecánicamente es bastante sencillo, simplemente tienes que restar lambda a las componentes de la diagonal, hayar su polinomio característico (el polinomio que resulta de igualar a cero el determinante de la matriz) y resolverlo.

¿Por qué esto? Porque cuando buscamos justamente una base tal que: $\dst f(v_i)=\lambda_i\cdot v_i\Rightarrow f(v_i)-\lambda_i\cdot v_i=(f-\lambda_i)(v_i)=0$. Omitiendo la solución trivial $\dst v=(0,0,\cdots,0)^t$ nos quedan los valores propios que satisfacen esta ecuación.
En forma matricial nos quedaría: $\dst (M_n(f)-\lambda_i\cdot I_n)=0\Rightarrow p(\lambda)=det(M_n(f)-\lambda\cdot I_n)=0$.

¿Cómo se obtienen los vectores propios? Mecánicamente sustituyes el valor del vector propio y resuelves el sistema, siempre te quedará un sistema compatible indeterminado, ya que te tienen que dar vectores que satisfagan la ecuación anterior, pero como estos vectores satisfacen dicha condición es porque se encuentran en el núcleo del endomorfismo.

$$\dst Ker(M_n(f)-\lambda_i\cdot I_n)=\{v_i\in E_n|f(v_i)=0\}$$

Ahí está la razón teórica .

Ahora los "spinors" me suena a que vienen de "spin" así que ya me callo :P

¡Saludos!

[Trollx]

Re: Eigenspinors

Se que es un autovalor y un autovector, pero mi pregunta era sobre que representaba un spinor, pero ya me ha quedado claro, es la funcion que me representa el spin, en alguna base, |S, ms>.