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Cuando uno empieza con la mecánica cuántica le dicen que los estados pertenecen a un espacio de Hilbert. En dichos espacios las funciones han de ser de cuadrado integrable y se han de normalizar.
Luego nos introducen el formalismo bra-ket de Dirac, y nos es difícil darse cuenta de que según este formalismo hemos de tratar con elementos que no pueden pertenecer al espacio de Hilbert, el ejemplo más característico son las deltas de Dirac o el empleo de funciones tipo onda plana que no son normalizables.
El caso es que para formular correctamente la mecánica cuántica uno ha de introducir lo que se conoce como rigged Hilbert space (RHS, o espacio de hilbert equipado).
El punto esencial es que la mecánica cuántica se ha de formular en un espacio de Hilbert donde se tenga en cuenta la teoría de distribuciones (una rama del análisis de funcional que trabaja con generalizaciones del concepto de función).
¿Por qué no se comenta esto en los cursos elementales o por qué acostumbramos a trabajar con un espacio de Hilbert?
Por dos motivos:
Uno acostumbra a trabajar con operadores acotados.
O bien trabajamos con operadores de espectro discreto o un número finito de autovectores.
Sin embargo, los primeros operadores que nos definen en general son la posición y el momento, que por regla general son no acotados, así que aquí vuelve a existir una diferencia entre lo que se enseña a nivel fundamental y lo que realmente calculamos. Esto no es un problema grave si uno asume que puede trabajar con deltas de Dirac u otras distribuciones, pero está claro que el formalismo no es totalmente cristalino a ese nivel.
La introducción de los RHS viene de lejos, aproximadamente desde los años 60 se viene trabajando con ellos. Y se pueden encontrar explicaciones más o menos extensas en libros de texto tan usados y afamados como el Galindo-Pacual, el Ballentine, etc.
Se hará una breve introducción al tema en posteriores post de este hilo.
Luego nos introducen el formalismo bra-ket de Dirac, y nos es difícil darse cuenta de que según este formalismo hemos de tratar con elementos que no pueden pertenecer al espacio de Hilbert, el ejemplo más característico son las deltas de Dirac o el empleo de funciones tipo onda plana que no son normalizables.
El caso es que para formular correctamente la mecánica cuántica uno ha de introducir lo que se conoce como rigged Hilbert space (RHS, o espacio de hilbert equipado).
El punto esencial es que la mecánica cuántica se ha de formular en un espacio de Hilbert donde se tenga en cuenta la teoría de distribuciones (una rama del análisis de funcional que trabaja con generalizaciones del concepto de función).
¿Por qué no se comenta esto en los cursos elementales o por qué acostumbramos a trabajar con un espacio de Hilbert?
Por dos motivos:
Uno acostumbra a trabajar con operadores acotados.
O bien trabajamos con operadores de espectro discreto o un número finito de autovectores.
Sin embargo, los primeros operadores que nos definen en general son la posición y el momento, que por regla general son no acotados, así que aquí vuelve a existir una diferencia entre lo que se enseña a nivel fundamental y lo que realmente calculamos. Esto no es un problema grave si uno asume que puede trabajar con deltas de Dirac u otras distribuciones, pero está claro que el formalismo no es totalmente cristalino a ese nivel.
La introducción de los RHS viene de lejos, aproximadamente desde los años 60 se viene trabajando con ellos. Y se pueden encontrar explicaciones más o menos extensas en libros de texto tan usados y afamados como el Galindo-Pacual, el Ballentine, etc.
Se hará una breve introducción al tema en posteriores post de este hilo.
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