Divulgación El radio atomico esta cuantizado como la energia ?

[SERGIO2011]

Recordemos que la energia solo puede tomar ciertos valores discretos, y no cualquier valor , si se afirma que el radio esta cuantizado el valor de estos ultimos deberian ser tambien valores discretos y no cualquier valor.

En lo personal se cual es la respuesta, pero me gustaria leer las respuestas de los foristas.

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Re: El radio atomico esta cuantizado como la energia ?

Hola SERGIO2011,

Bueno, para contestar a esta pregunta me basaré en la teoría atómica de Bohr. Como ya sabrás, el primer postulado de esta dice que existen ciertas órbitas, denominadas ''permitidas'', en las que el electrón se mueve con celeridad constante y no emite ningún tipo de radiación. Estas órbitas pues, constituirían los estados estacionarios del átomo.

Del mismo modo, enunció un segundo postulado, según el cual, las órbitas permitidas son las únicas en las que se puede mover un electrón. Además, dado que estas órbitas están cuantizadas, el momento angular del electrón en ellas tomará valores discretos (o cuantizados, vamos). Ya sabrás que dichos valores se relacionan con la constante de Planck del siguiente modo:

$$m_evr=n\dst\frac{h}{2\pi}$$

Donde $n$ es un número entero que cuantiza los posibles valores del momento angular, y recibe el nombre de número cuántico principal. Pero, ¿qué tiene que ver esto con la pregunta que haces del radio? Pues bastante.

Podemos calcular, siempre me estoy apoyando en este modelo del átomo, por tanto el radio de las órbitas permitidas. Para ello, hemos de tener en cuenta que la fuerza de atracción electrostática entre el núcleo y el único electrón del átomo de hidrógeno es una fuerza centrípeta (que sería una fuerza genérica que hace que un cuerpo describa una trayectoria circular), de modo que:

$$F_e\equiv F_c \Rightarrow \dst\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dst\frac{e^2}{r^2}=m_e\dst\frac{v^2}{r}$$

Donde $e$ es la carga del electrón (y cuyo valor es igual que la carga nuclear) y $m_e$ la masa del electrón. Si despejas el radio, tienes que:

$$r=\dst\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\dst\frac{e^2}{m_e v^2}$$

Pero, entonces, ¿puede tomar cualquier valor? Bueno, aquí viene el problema, pues debemos aplicar ahora a este radio la condición de cuantificación del momento angular que se expuso en el segundo postulado. Por tanto, quedaría que:

$$v=\dst\frac{nh}{2\pi m_e r}$$

Expresión que si sustituimos en $(3)$ nos conduce a esta otra:

$$\boxed{r=n^2\dst\frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}}$$

De este modo, sustituyendo valores de las constantes, como la constante de Planck, masa del electrón, carga... se obtiene una expresión mucho más simple entre el radio y el número cuántico principal, $n$, de modo que:

$$\boxed{r=0,53\cdot n^2 \AA}$$

Como ves, esto implica que el radio atómica también está cuantizado, pues no todas las ''distancias'' del electrón están permitidas. Lo mismo ocurriría con la energía, que siguiendo un procedimiento similar (calculando la energía mecánica como suma de la cinética y la potencial y sustituyendo el valor del radio obtenido) se conseguiría una expresión del tipo:

$$E_{total}=-\dst\frac{m_e e^4}{8\varepsilon^2_0 n^2 h^2}\Rightarrow \boxed{E_{total}=-\dst\frac{13.6}{n^2} eV}$$

Así ves que la diferencia de energías entre las órbitas tiende a disminuir conforme aumenta el número cuántico principal (esto explica si te das cuenta la convergencia de las series espectrales). En suma, según el modelo atómica de Bohr, el radio orbital sí está cuantizado.

Saludos,

[Stormkalt]

Re: El radio atomico esta cuantizado como la energia ?

Hola
También podemos encarar el problema haciendo uso de las propiedades ondulatorias de la matera. Si tenemos al electrón moviéndose en una órbita circular con rapidez constante y con su onda asociada siguiéndolo. Si en cada revolución las ondas están en fase, sus nodos coincidirán perfectamente en órbitas que contengan un número entero de longitudes de onda de de Broglie.
Entonces, se tendría siempre para un radio determinado r (cualqier órbita de Bohr

$$2\pi r = n\lambda$$

La ecuación anterior no se podría violar, pues si ello ocurriera en un número grande de revoluciones las ondas se interferirían entre sí y como consecuencia su intensidad promedio sería cero. Y dado que la intensidad promedio de las ondas es $\overline {\Psi ^2 }$ (donde $\Psi$ representa la función de onda asociada al electrón) y ésta es supestamente una medida de la localización del electrón, se interpretaría esto como la imposibilidad de que un electrón se encuentre en cualqier órbita.

Saludos!

[SERGIO2011]

Muy buenas noches , tardes segun su pais
la energia que actualmente se estudis solo es una aproximacion y es valida solo hasta un intervalo despues cambia por efectos internos del atomo estoy refirienfome a la energia del atomo asi que la mecanica cuantica comienza su estudio como una aproximacion

[agaminon]

Considerar el átomo de hidrógeno por su solución analítica conocida. En tal caso, la ecuación de Schrödinger, por separación de variables, eventualmente ofrece una función radial $R_{nl}(r)$ que está "cuantizada" en tanto a que depende de dos valores enteros, $n$ y $l$. Ahora bien, la posición del electrón depende de la densidad de probabilidad $r^2 |R_{nl}|^2$. Integrando esta densidad de probabilidad se puede obtener probabilidad de encontrar el electrón entre dos puntos cualesquiera. En general no es cero, por tanto, en principio el electrón podría medirse en cualquier punto.

[carroza]

Hola.

De la pregunta original "El radio atómico esta cuantizado como la energía?", debo corregir la premisa.


La energía, en general, no está cuantizada. Y me explico:

La energía que radia el cuerpo negro sí está cuantizada, según planteó Plank, de forma que $E = n \hbar \omega$. Sin embargo, eso no es válido para cualquier tipo de energía.

La energía de una partícula libre no está cuantizada. Puede tomar cualquier valor real.

La energía de un sistema protón-electrón no esta cuantizada. Si es positiva (más alla del umbral de ionización), puede tomar cualquier valor. Si es negativa (estados ligados), toma valores discretos. Ello, no obstante, no imploica que esté cuantizada. Algo cuantizado es algo cuyo valor es multiplo de un cuanto, como puede ser el momento angular, o la energía de un oscilador armónico, o la emisión de energía del cuerpo negro. Todos los sistemas ligados tienen energías que toman valores discretos, pero ello se debe a que las funciones de onda deben ser localizadas y normalizables, y no a que estén cuantizadas (salvo en el caso especial del oscilador armónico).

Con respecto al radio del átomo, o de cualquier otra cosa, no toma valores discretos, ni mucho menos está cuantizado. agaminon lo explica claramente.

Un saludo