Secundaria Adjunto de operadores diferenciales

[Mister Kroket]

Hola, estaba aprendiendo un poco del formalismo de la mecánica cúantica, y me he encontrado con un ejercicio un poco dificil para mí, si alguien puede ayudarme se lo agradecería mucho, dice así

Desde la definición de operador adjunto en 1 dimensión
( está es la definición ) $\dst \int_{- \infty}^{+\infty} dx \psi ^* \hat{A^\dag} \phi = \int_{- \infty}^{+\infty} dx ( \hat{A} \psi)^* \phi<br />$

Donde $\psi$y $\phi$ dependientes de x son funciones de onda normalizadas,

prueba las siguientes igualdades:

1) $\dst (\frac{d}{dx})^\dag= - \frac{d}{dx}$

Yo hice esto que no se si esta bien :
$\dst\int_{- \infty}^{+\infty} dx ( \hat{A} \psi)^* \phi = \int_{- \infty}^{+\infty} dx ( \frac{d \psi }{d x}) ^* \phi =[ \phi \psi ^* ]_{- \infty}^{+\infty} + \int_{- \infty}^{+\infty} dx (- \frac{d \phi }{d x}) \psi ^*$ En este último paso integré por partes, y ya estaría todo ? ( el primer término se anula al ser funciones de cuadrado integrable $[ \phi \psi ^* ]_{- \infty}^{+\infty}=0$ )

y así
$\dst \langle \psi \mid \frac {-d}{dx} \phi \rangle = \langle \frac {d}{dx} \phi \mid \psi \rangle$


y el otro apartado del problema, es

1) $\dst (\frac{d^2}{dx^2})^\dag= \frac{d^2}{dx^2}$

Este ya no supe ni que hacer, me salen cosas raras cuando estoy haciendo la integración por partes


Gracias por la ayuda !

[[Beto]]

Re: Adjunto de operadores diferenciales

Hola, al parecer la primera demostración la has hecho bien.

1) $\dst (\frac{d^2}{dx^2})^\dag= \frac{d^2}{dx^2}$

Este ya no supe ni que hacer, me salen cosas raras cuando estoy haciendo la integración por partes


Gracias por la ayuda !

Para la segunda propiedad bastaría con llamar al operador definido en el ejercicio anterior como $\hat A$ y notar que este segundo operador $\hat B=\dfrac{\dd^2}{\dd x^2}$ se puede escribir como $\hat B=\hat A\hat A$, luego solamente es cosa de tomar el adjunto tomando en cuenta que $\hat A^\dag=-\hat A^\dag$, observa que tendrías lo siguiente $\hat B^\dag=(\hat A\hat A)^\dag=\hat A^\dag\hat A^\dag=(-\hat A)(-\hat A)=\hat A\hat A=\hat B$

Como ves no necesitas integrar.

[Mister Kroket]

Re: Adjunto de operadores diferenciales

Muchas gracias Beto aunque me gustó mucho la forma de resolverlo de verdad, ¿ no hay otra forma que sea utilizando la definición directamente ? por lo que veo tu lo hiciste utilizando la definición pero de forma más indirecta con el resultado del primer apartado

Gracias otra vez

[[Beto]]

Re: Adjunto de operadores diferenciales

Muchas gracias Beto aunque me gustó mucho la forma de resolverlo de verdad, ¿ no hay otra forma que sea utilizando la definición directamente ? por lo que veo tu lo hiciste utilizando la definición pero de forma más indirecta con el resultado del primer apartado

El método que estabas siguiendo es el correcto, pero seguramente te liaste con algunos cálculos, es por eso que yo prefiero hacerlo de la manera que te indiqué, no es un método indirecto, yo diría mas bien que es un método mucho más general.