Otras carreras Distancia media entre núcleo y electrón

[my_atomlife]

Hola!

Llevo dos horas intentando descifrar un ejercicio pero no hay manera y estoy segura que ha de ser súper sencillo.

Trata de saber la distancia media de un orbital 2s del átomo de hidrógeno. Aquí están los datos necesarios. Página 11 de este PDF (n=2 , l=0, ml=0)

[HTML]http://campus.usal.es/~Inorganica/zona-alumnos/erf-enlace/T1,%20El%20Atomo.pdf[/HTML]

La ecuación general para sacar <r> sería: triple integral de |Ψ2s|^2*r*r^2 sinθ dθ dφ dr
sabiendo que las los ángulos θ y φ no intervienen y sacándolo fuera da 1.


La solución es 6ao = r

Me hago un lio a la hora de integrar. Lo máximo que he conseguido es que me diera 4ao. Cómo lo tengo que hacer?

Muchas gracias de ante mano por vuestra colaboración y ayuda!!

[arivasm]

Re: Distancia media entre núcleo y electrón

Lo que escribes es correcto. Quizá te estés liando con las integrales. Para evitarlo, te aconsejo que hagas el cambio de variable $\rho = \frac{r}{a_0}$, pues así la integral te quedará más "limpia".

Por otra parte, en lugar de hacerla directamente, te aconsejo que previamente determines cuánto valen las integrales de la forma $I_n = \int_0^\infty \rho^n e^{-n} \dd \rho$ (deberías encontrar que valen n!). De esa manera sólo tendrás que hacer una substitución en tu primera integral que te llevará fácilmente al resultado correcto, $6 a_0$.

Una forma fácil de encontrar los valores de esas integrales es recurrir a la integración por partes, tomando $u=e^{-\rho}$ y $dv = \rho^n \dd \rho$, pues así encontrarás una relación entre $I_n$ e $I_{n+1}$ (debería salirte que $I_{n+1} = (n+1) I_n$), con lo que sólo necesitarás saber el valor de $I_0$

Si no te sale, pon cómo lo haces y buscamos cuál es el problema.

[my_atomlife]

Re: Distancia media entre núcleo y electrón

Ya pude hacer este problema y otros más a semejanza de el. Lo que no llego a entender es por qué en lugar de dar un resultado con una exponecial dan factoriales...

[arivasm]

Re: Distancia media entre núcleo y electrón

Como te dije en mi post anterior, para encontrar la expresión de las integrales que denoté como $I_n = \int_0^\infty \rho^n e^{-\rho} \dd\rho$ podemos recurrir a integrar por partes, tomando $u = e^{-\rho}$ y $\dd v= \rho^n \dd \rho$. De este modo tenemos que $I_n = \int_0^\infty \rho^n e^{-\rho} \dd\rho = \left. {\frac{1}{n+1} \rho^{n+1} e^{-\rho}} \right]_0^\infty + \frac{1}{n+1}\int_0^\infty \rho^{n+1} e^{-\rho} \dd\rho$. Como el primer sumando es cero, tenemos que $I_n = \frac{1}{n+1}I_{n+1}$. Aplicando esta expresión de manera recursiva encontramos que $I_{n+1}=(n+1) I_n = (n+1) n I_{n-1} = ... = (n+1)! I_0$. Como $I_0 = \int_0^\infty e^{-\rho} \dd\rho = 1$ entonces $I_{n+1} = (n+1)!$, es decir, $I_n = n!$

[Mister Kroket]

Re: Distancia media entre núcleo y electrón

además de que esa es la Gamma de Euler, lo digo porque no siempre tenemos una calculadora para saber cuanto valen los factoriales de fracciones http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma

pero en cambio el valor $\Gamma(1/2)$ si lo conocemos