2o ciclo Interaccion de electrones con campos magneticos

[rruisan]

Buenos dias! tengo el siguiente problema que no se como resolverlo si me pudieran dar una ayuda se los agradecería. Se que tengo que demostrar el valor de $\vec{j}$ en la primer parte pero no se como hacerlo. Muchas gracias!

Mostrar que para un sistema descrito por el Hamiltoniano

$H=\frac{[\vec{p}+(\frac{e}{c})\vec{A}(\vec{r},t)]^2}{2\mu}$

el flujo $\vec{j}$, satisface

$\frac{\partial}{\partial t}\psi^*\psi +\nabla\cdot \vec{j}=0$

esta dado por

$\vec{j}=\frac{\hbar}{2i\mu}\left[\psi^*\nabla\psi-\nabla\psi^*\psi +\frac{2ie}{\hbar c}\vec{A}(\vec{r},t)\psi^*\psi\right]$

Mostrar también que para el Hamiltoniano de las ecuaciones de movimiento del problema 1 implica que

$\frac{d}{dt}\vec{L}=0$

donde

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[rruisan]

Re: Interaccion de electrones con campos magneticos

intente hacer esto pero me quedo en una parte y no se como seguir:

parto de la ecuación de schrondinger

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=H\psi$, donde a su vez lo multiplico por su conjugado donde aqui me queda una duda ya que no se, si es correcto meter el conjugado en la derivada sin ninguna restricción matemática donde me queda $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*\psi=H\psi^*\psi$, a partir de esta ecuación sustituyo en la ecuación de continuidad, donde tengo que

$\nabla\cdot j=-\frac{H}{i\hbar}\psi^*\psi$

donde tengo que sustituir H y desarrollar el binomio pero no se como integrar nabla ya que es un espacio de tres dimensiones. Gracias de antemano!

[polonio]

Re: Interaccion de electrones con campos magneticos

¿Te refieres a que no sabes integrar $\dst \int \vec{\nabla}\cdot \vec{j} \dd^3x$? Pues usa el teorema de la divergencia (o de Gauss-Ostrogradski): $\dst \int \vec{\nabla}\cdot \vec{j} \dd^3x=\oint \vec{j} \cdot \dd^2\vec{x}$

[rruisan]

Re: Interaccion de electrones con campos magneticos

Gracias polonio pensaba que no podia incluir los diferenciales de volumen en la expresion que tengo el $d^3x$, entonces al tener una integral cerrada me quedaría en términos de área verdad?

[polonio]

Re: Interaccion de electrones con campos magneticos

Sí, eso es lo que se llama flujo de la densidad de corriente a través de la superficie cerrada que envuelva el espacio (volumen) considerado.

[rruisan]

Re: Interaccion de electrones con campos magneticos

estaba checando y volví hacer los cálculos y llego a los siguiente y de ahí no se como seguir o si hay algunas identidades que me lleven al resultado. Cualquier sugerencias se los agradezco.


$-\nabla \cdot \vec{j}=\frac{\psi^*}{i\hbar}\left[-\hbar^2\nabla^2\psi-\frac{e}{c}i\hbar\vec{A}\cdot(\nabla \psi)\right]-\frac{\psi}{i\hbar}\left[-\hbar^2\nabla^2\psi^*+\frac{e}{c}i\hbar\vec{A}\cdot(\nabla \psi^*)\right]$