2o ciclo Funciones propias pozo infinito

[Becquerel]

Hola a todos,

Estaba haciendo problemillas de aplicaciones unidimensionales de la Ecuación de Schrödinger y encuentro que dudo bastante con los asuntos de las funciones propias y eso. Tengo un problema sobre una partícula en un pozo infinito que no sé cómo resolver. Espero que me podais orientar. Dice así:

Considerar una partícula en un pozo infinito $-a<x<a$ determinada por una función de onda:

$\Psi(x,0) = N(a^2 - x^2)$

El problema me pide expresarlas en términos de las funciones propias. Seguro que es una tontería, pero no tengo cláro como hacerlo. ¿Alguien me echa una mano?

Un saludo, gracias por anticipado

[arreldepi]

Re: Funciones propias pozo infinito

Hola, este problema me suena xD.

Sabiendo que la función anterior tiene simetría par y que el pozo tiene simetría, sólo tienes que usar la solución simétrica para el pozo infinito:

$$\Phi_n(x) = \frac{1}{\sqrt a}\cos\left(\frac{n\pi}{2a}x\right),\qquad\qquad n = 2k +1$$

Así que

$$\psi(x,0) = \sum_{k=0}^\infty c_{2k+1}\Phi_{2k+1}(x)$$

y encontrar los $c_{2k+1}$ que es lo más horrible del problema xD.

Si por lo que fuese no recuerdas cómo es la función simétrica del pozo infinito (o el pozo no tuviese simetría) tendrías que encontrar las funciones propias $\Phi_n(x)$ resolviendo la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo y aplicando continuidad para la función propia en los extremos del pozo.

Saludos y suerte!

[Becquerel]

Re: Funciones propias pozo infinito

Vale, los tiros tenían que ir por ahí...

Entonces si ahora me piden calcular el valor medio de la energía, ¿cómo lo hago?

¿Escribo la función de onda del sistema con las funciones propias del pozo, añado la parte temporal y luego calculo el valor esperado como siempre? O es más fácil que eso...

[arreldepi]

Re: Funciones propias pozo infinito

Hola, el valor esperado de la energía se puede calcular como:

$$\left<E\right> = \int\limits_{-\infty}^\infty \psi(x,0)\hat E\psi(x,0)\dd x = \sum_{n}|c_n|^2 E_n,$$

de la continuidad de $\Phi_n(x)$ sale que

$$E_n = n^2\frac{\pi^2\hbar^2}{8ma^2},$$

así que puedes sumar la serie o resolver la integral. Si optas por el camino de la integral ten en cuenta que $E\psi(x,0) = \hat H \psi(x,0)$

Saludos!