1r ciclo Principio de Incertidumbre

[nico_b]

Este problema, realmente no se como encararlo, osea pienso en usar el principio de incertidumbre pero al ser una demostracion y saber adonde tengo que llegar no se ocurre por donde. Este problema se encuentra en el capitulo 6 de "Fundamentos de Física Moderna" de Eisberg. Lo voy a escribir textualmente.

Un niño que se encuentra en la parte superior de una escalera de altura H intenta golpear una hendidura en el piso arrojando canicas de masa m. Para dar en el blanco emplea un equipo de la mayor precision posible. Muestre que, a pesar de todo el cuidado que pone, las canicas fallaran en el blanco por una distancia cuyo orden de magnitud es,

$\left( \hbar /m \right)^{\frac{1}{2} } \left( H /g \right)^{\frac{1}{4} }$

donde $g$ es la aceleracion de la gravedad.

Ese es todo el problema, la verdad no estoy muy seguro como encarlo, ya que por lo general uso el principio de incertidumbre para calcular valores minimos de energia, trate probando de escribir la energia que tiene cada canica como la potencial pero no podia avanzar mucho.

Cualquier idea sera bienvenida

[polonio]

Re: Principio de Incertidumbre

Tienes que probar con la indeterminación posición-momento:

$$\dst \Delta x \Delta p\geqslant \frac{\hbar^2}{2}$$

(la cantidad de movimiento es la masa de la partícula por la velocidad con la que llega al agujero al caer desde la altura $H$ bajo la acción de la gravedad).

[nico_b]

Re: Principio de Incertidumbre

El problema es que $\Delta x \Delta P \approx \hbar$ no es estrictamente cierto, $\Delta x \Delta P_x \approx \hbar$ y $\Delta P_x$ no lo puedo calcular como mencionas, mas bien lo que mencionas es como calcular $\Delta P_y$. Tal vez estoy interpretando mal el problema no lo veo claramente.

[neometalero]

Re: Principio de Incertidumbre

Yo hice lo que dice Polonio y no llegué al resultado que se supone debía obtener...

[arivasm]

Re: Principio de Incertidumbre

Me llama la atención de este problema las unidades del resultado: $\left( \hbar /m \right)^{\frac{1}{2} }$ tiene dimensiones de longitud, ¡pero $\left( H /g \right)^{\frac{1}{4} }$ tiene dimensiones de tiempo^(1/2)!

[Jose D. Escobedo]

Re: Principio de Incertidumbre

Hola,

$\dst P_x= P_y \frac{x}{H }$ de donde $P_y=m\sqrt{2gH} \Rightarrow$

$\dst P_x=m \sqrt{\frac{2g}{H } } x$, despues sabiendo que $\dst \sigma _x=\frac{x}{ 2}$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\dst x^2\geqslant \sqrt{2} (\frac{\hbar}{m } ) \sqrt{\frac{H}{ g} }>\dst (\frac{\hbar}{ m} )(\sqrt{\frac{H}{g } } ) \Rightarrow$

$\dst x >(\frac{\hbar}{m } )^{1/2} (\frac{H}{g } )^{1/4}$

Saludos
Jose D.

[arivasm]

Re: Principio de Incertidumbre

En primer lugar, veo que cuando escribí mi último post estaba realmente espeso! : no hay ninún problema dimensional con la expresión del ejercicio ($\left( \hbar /m \right)^{\frac{1}{2} }$ tiene dimensiones de longitud *dividido por tiempo^(1/2)*). Como ya no puedo borrarlo, ahí queda para darme en las narices diciéndome "¿en qué estabas pensando cuando lo escribiste?".

Quizá siga espeso y por eso no veo algunas cosas de la respuesta que nos da Jose y que me gustaría entender!. Así, la primera es ya la propia expresión $\dst P_x= P_y \frac{x}{H }$, ¿de dónde sale?. La segunda, que quizá guarde relación con la anterior, es ¿exactamente qué es $x$? En particular, me hago esa pregunta a partir de $\dst \sigma _x=\frac{x}{ 2}$.

[Jose D. Escobedo]

Re: Principio de Incertidumbre

En primer lugar, veo que cuando escribí mi último post estaba realmente espeso! : no hay ninún problema dimensional con la expresión del ejercicio ($\left( \hbar /m \right)^{\frac{1}{2} }$ tiene dimensiones de longitud *dividido por tiempo^(1/2)*). Como ya no puedo borrarlo, ahí queda para darme en las narices diciéndome "¿en qué estabas pensando cuando lo escribiste?".

Quizá siga espeso y por eso no veo algunas cosas de la respuesta que nos da Jose y que me gustaría entender!. Así, la primera es ya la propia expresión $\dst P_x= P_y \frac{x}{H }$, ¿de dónde sale?. La segunda, que quizá guarde relación con la anterior, es ¿exactamente qué es $x$? En particular, me hago esa pregunta a partir de $\dst \sigma _x=\frac{x}{ 2}$.

Solamente, tienes que usar semejanza de triángulos, $\vec{P}$ de forma clásica(por que el problema esta en términos clásicos, creemelo que no tenía pensador usar operadores cuánticos para resolver este problema) y desviación stardard.
Pd. Cometí algunos errores al mezclar 2 y 3 dimenciones indiscriminadamente. En dos dimenciones es mas que suficiente, pues la idea es la misma.

Saludos
Jose

[arivasm]

Re: Principio de Incertidumbre

Gracias, Jose, por tu respuesta. Pero observo que la relación de semejanza que indicas se cumpliría en un movimiento rectilíneo uniforme, pero no en uno uniformemente acelerado, particularmente si, como en este caso, el móvil parte del reposo.

Cuando vi tu respuesta pensé en si tendría que ver con el ensanchamiento del paquete de ondas. ¿Podría ese camino conducir a alguna parte?

[Jose D. Escobedo]

Re: Principio de Incertidumbre

Gracias, Jose, por tu respuesta. Pero observo que la relación de semejanza que indicas se cumpliría en un movimiento rectilíneo uniforme, pero no en uno uniformemente acelerado, particularmente si, como en este caso, el móvil parte del reposo.

Cuando vi tu respuesta pensé en si tendría que ver con el ensanchamiento del paquete de ondas. ¿Podría ese camino conducir a alguna parte?

Es interesante lo que planteas, pero por la pequeñez de los valores de $P_x$ y $x$ esa aproximación es suficiente.
Si quieres, se puede usar las ecuaciones de movimiento parabólico:
$\dst y=H-\frac{gx^2}{2v_x^2 }\Rightarrow$
$\dst \dot y =-\frac{g\dot x x}{ v_x^2}\Rightarrow$
$\dst m \dot y =-\frac{m^2 g x}{m \dot x }$, por que $\dot x=v_x\Rightarrow$

$\dst P_y=-\frac{m^2 g x}{P_x }$...(1)
También $\dst \frac{P_x^2}{2m } +\frac{P_y^2}{2m } =mgH$...(2) conservación de la energía.
De (1) y (2)

$P_x^4-2m^2gHP_x^2+m^4 g^2x^2=0\Rightarrow$

$\dst P_x^2=mgH(1-\sqrt{1-\frac{x^2}{H^2 } }) \Rightarrow$
$P_x^2\approx \dst \frac{m^2 g x^2}{2H }$...(3)

Finalmente, si se calcula la desviación estandard de $x$ y tomando en cuenta (3) el resultado será el mismo.

En cuanto a lo de ensanchamiento de las ondas, puedes tratar de resolver la ecuación de Schrödinger en 2D de funciones separables, pero me da la impesión de que vas a utilizar tu computadora para resolver eso, de cualquier forma creo que el problema es plateado para resolverlo en clásica con la restricción del uso del principio de inceridumbre.

Uno de mis profesores solía decirme "don't use a cannon to kill an ant."

Saludos
Jose