1r ciclo Valor esperado

[volduck]

Tengo una cuestión que no logro entender muy bien.Y quizás puedan resolver mi duda.

Sea un sistema físico, en el que encontramos un estado cuántico descrito por una determinada función. ¿Qué signfica que el valor esperado de la posición de dicho estado cuántico valga 0?

Muchas gracias.

[carroza]

Re: Valor esperado

En general, el valor esperado de una magnitud $x$ con una distribución de probabilidad $p(x)$ viene dado por la expresión $<x> = \int x p(x) dx$.

En mecánica cuántica, dada la función de onda $\phi (x)$, la distribución de probabilidad viene dada por $p(x)=|\phi(x)|^2$.

Por tanto, el valor esperado de la posición es $<x> = \int x |\phi(x)|^2 dx$. Si este valor es cero, quiere decir que la función de onda tiene valores para x positivo y negativo, de tal forma que se anula la integral anterior.

[arivasm]

Re: Valor esperado

Por añadir una cosa: un caso particular bastante común se da cuando se trata de estados descritos por funciones de onda simétricas, $\psi(x)=\psi(-x)$, o antisimétricas $\psi(x)=-\psi(-x)$. La integral que indica carroza, $<x>=<\psi|x|\psi>$ es nula porque el integrando es entonces antisimétrico, $x\psi^*(x)\psi(x)=-[(-x)\psi^*(-x)\psi(-x)]$, lo que implica que $\int_{-\infty}^0 x |\psi|^2 \dd x = -\int_{0}^\infty x |\psi|^2 \dd x$.

Este caso se da cuando el pozo de potencial es simétrico respecto de $x=0$, es decir, si $V(x)=V(-x)$ (estoy pensando en un caso unidimensional). Entonces todas las funciones de onda que son solución de la ecuación de Schrödinger serán simétricas o antisimétricas. Así pues, si el potencial es simétrico entonces siempre es $<x>=0$.

Por supuesto, la afirmación inversa no es cierta.

[volduck]

Re: Valor esperado

Por supuesto, la afirmación inversa no es cierta.

¿Te refieres a que $<x>=0$ no implica que el potencial sea simétrico?

[arivasm]

Re: Valor esperado

A lo que me refería es que podría darse la circunstancia de que para alguna función de onda se cumpla que $<x>=0$, simplemente porque suceda que la integral en el lado positivo es justamente la opuesta de la del lado negativo, pero sin que la función de onda sea simétrica, algo parecido a lo que he intentado dibujar aquí (la ordenada es $x|\psi|^2$).

Ahora bien, confieso que me entra la duda de si será posible que pueda suceder que $<x>=0$ para *todas* las funciones de onda y que el potencial pueda no ser simétrico. Me da la sensación de que no puede ser, y que si todas las funciones de onda cumplen que $<x>=0$ entonces necesariamente el potencial debe ser simétrico. Pero, insisto, no lo tengo claro.