1r ciclo probabilidades y valores esperados con funciones de onda

[sergiolor]

Hola a Todos!

me gustaria comentar este problema ,explicar mis ideas y ya me comentais como va

un electrón está descrito por la siguiente función de onda:

$\dst \Phi \left( r,t \right)=\frac{2}{\sqrt{4\pi {{a}_{0 } }^{3 } } }{exp}^{\frac{-r}{{a}_{0 } } } {exp}^{\frac{iht}{4\pi {{a}_{0 } }^{ 2} } }$

la h barra no está en el editor?

en el problema me dan una expresión a utilizar,

$\int {r}^{ n} {e}^{\frac{-r}{a } }dr=n!{r}^{a+1 }$ esto va desde r=0 hasta infinito

si me preguntan la probabilidad de que un electrón esté en el intervalo [r,r+dr] y calcular este valor para $r={a}_{0 }$

esto sería ${\Phi }^{2 }dr$? habría que integrar esto? pero no tengo límites, sustituyo directamente ${\Phi }^{2 }dr$ por $r={a}_{0 }$, y dr?

saludos y gracias

[arivasm]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

La constante de Planck con barra, $\hbar$, se pone con el comando \hbar

Como bien dices, en rigor la probabilidad de que el electrón esté en el intervalo $[r,r+\dd r]$ es un infinitésimo, parecido al que indicas. Por tanto, entiendo que lo que te preguntan es la densidad de probabilidad. Ahora bien, para obtenerla no se tratará de simplemente substituir el valor de $r$ en $|\Phi|^2=\Phi^* \Phi$, puesto que tienes que integrar con respecto de las otras dos coordenadas esféricas, $\theta$ y $\varphi$, lo que simplemente se traducirá, en este caso en el que la función de onda sólo tiene dependencia radial, en multiplicar por $4\pi$.

Edito: hay un error en la última afirmación, pues hay que multiplicar por $4\pi r^2$

[sergiolor]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

y del tema de $r={a}_{0 }$ paso no?

despues me preguntan que calcule el valor medio de r, entonces hago

$\int \Phi^*r \Phi dr$ no?

y la energía potencial media <V> siendo V(r)=$\frac{-{\hbar}^{ 2} }{ {m}_{ e}{a}_{ 0}r }$ ?

[arivasm]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

En primer lugar, me acabo de dar cuenta de que he olvidado algo importante en mi respuesta anterior: el elemento de volumen en coordenadas esféricas es $r^2 \cos\theta \dd r\dd \theta \dd\varphi$. Por tanto, antes escribí incorrectamente la expresión para la densidad de probabilidad en el intervalo $[r,r+\dd r]$: será $4\pi r^2|\Phi|^2$.

y del tema de $r={a}_{0 }$ paso no?

No, no. Para nada. Calcula $4\pi r^2|\Phi|^2$ haciendo $r=a_0$.

Para el valor medio de cualquier magnitud $A$ debes calcular $<A>=\int \Phi^* \hat A \Phi \,r^2 \cos\theta \dd r \dd \theta \dd \varphi$, con la integral extendida a todo el espacio. Si, como sucede con $r$ y $V$ que no dependen de $\theta$ ni de $\varphi$ entonces $<A>=4\pi \int_0^\infty \Phi^* \hat A \Phi \, r^2 \dd r$. Así, por ejemplo, $<r>=4\pi \int_0^\infty r^3 |\Phi|^2 \dd r$.

Con respecto a la energía potencial, lo que dices es correcto, es decir

$\dst <V>=-4\pi\int_0^\infty \frac{\hbar^2}{m a_0 r} |\Phi|^2 r^2 \dd r=-4\pi\frac{\hbar^2}{m a_0} \int_0^\infty r |\Phi|^2 \dd r$

[sergiolor]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

el tema del Jacobiano, porque? si la integral ya está en r, si estuviera en dxdydz si que cambiariamos por el jacobiano no?

la verdad que la expresión que pones añadiendo el jacobiano encaja más con la integral que nos dan de ayuda. Mil gracias

[sergiolor]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

tiene que ser como tu dices para que tenga sentido la expresión que nos dan, todo claro, mil gracias!!!!

[sergiolor]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

también me preguntan la energía cinética media? podría hacer la energía media menos la potencial?

saludos y gracias

[arivasm]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

Ciertamente. No obstante, haré una matización: no es la energía media, sino la energía que corresponde a la función de onda, que, o bien te la dan, o bien debes determinar aplicándole el formalismo de la ecuación de Schrödinger (aunque me parece que se trata de la función de onda del nivel fundamental del hidrógeno). Es decir, se trata de calcular $<K>=E-<V>$

[sergiolor]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

El E lo hago con el $H=-i\hbar\frac{d}{dt }$

mil gracias me has ayudado mucho!

[arivasm]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

Sí, lo puedes hacer de esa manera, si quieres, lo que estará facilitado porque la parte espacial de la función de onda $\dst \frac{2}{\sqrt{4\pi {{a}_{0 } }^{3 } } }{exp}^{\frac{-r}{{a}_{0 } } }$ ya está normalizada. Otro punto de vista es que el exponente de la parte temporal será $\exp{(-i E t/\hbar)}$, con lo que la energía será $E = -\hbar^2 / 4 \pi a_0^2$. Por cierto que observo que dimensionalmente no es una energía, sino una energía por unidad de masa. Es decir, yo esperaba que fuese $E = -\hbar^2 / 4 \pi m a_0^2$. ¿Falta esa m en el exponente de la parte temporal?

[sergiolor]

Re: probabilidades y valores esperados con funciones de onda

sí que lleva la m! mil gracias por todo