2o ciclo Duda con uso de armónicos esféricos en Mecánica Cuántica

[vpleader]

¡Hola físicos!

Os quiero consultar una duda con un problema de Cuántica. En realidad el problema en sí no es importante, ya que mi duda es con el uso (evaluación) de los armónicos esféricos, pero os pongo el enunciado de todos modos:

Se considera una partícula de spin 1/2. Se designa el spin por S, su momento orbital por L y su vector estado por |$\Psi$>. Las funciones ${\Psi}_{+ } y {\Psi}_{- }$ están definidas por:

$\dst {\Psi}_{\pm }=<\vec{r}|\pm \Psi >$

${\Psi}_{+ }(\vec{r})=R(r) [{{Y}_{ 0}}^{0 }(\theta , \phi) + \frac{1}{\sqrt{3} }{{Y}_{1 }}^{0 } (\theta , \phi)]$

$\dst {\Psi}_{- }(\vec{r})=R(r) [{{Y}_{ 1}}^{1 }(\theta , \phi) - {{Y}_{1 }}^{0 } (\theta , \phi)]$

siendo R(r) una función dada de r (que no es necesario calcular) y r,$\theta y \phi$ las coordenadas de la partícula.

a) ¿Qué condición debe cumplir R(r) para que el vector estado esté normalizado?



Empiezo a calcular la condición para que la norma sea 1:

$<\Phi |\Phi >=1=\int({|{\Psi}_{+ }|}^{ 2} +{|{\Psi}_{- }|}^{ 2} ) \vec{dr}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$+ [{{Y}_{ 1}}^{1* }(\theta , \phi) - {{Y}_{1* }}^{0 } (\theta , \phi)] [{{Y}_{ 1}}^{1 }(\theta , \phi) - {{Y}_{1 }}^{0 } (\theta , \phi)] ]$

Aquí es donde yo echo mano del Schaum de Tablas Matemáticas, y veo que:

${{Y}_{ 0}}^{0 }=\frac{1}{ \sqrt{4 \pi} }$

${{Y}_{ 1}}^{0 }= \sqrt{\frac{3}{4 \pi } } cos\theta$

${{Y}_{ 1}}^{1 } = -\sqrt{\frac{3}{ 8\pi} }sin \theta {e}^{i \phi}$

A la hora de llevarlo a la práctica, por más que complejo-conjugo y aplico propiedades no llego al resultado siguiente del profesor, una vez hecha la multiplicación de los armónicos que es:

$<\Phi | \Phi > =1 =\int R(r) {r}^{2 }dr (1+1/3+1/3+1/3)$

Siempre me quedan cosas en función de theta y phi, y no consigo que se vayan. ¿Qué estoy haciendo mal? ¿hay que tomar algún límite o algo similar?

[carroza]

Re: Duda con uso de armónicos esféricos en Mecánica Cuántica

Hola.

Cuando integras la función de onda, tienes que integrar no sólo con respecto al radio sino también con respecto a los ángulos theta y phi.

Estrictamente, debes hacer la integral

$\int_0^\pi \sin(\theta) d \theta \int_0^{2 \pi} d \phi$

Con respecto a estas integrales, los armónicos esféricos están normalizados, y son ortogonales.