2o ciclo Medida simultánea de observables

[vpleader]

¡Hola!

Hoy os traigo una duda sobre un tipo de problema que no consigo resolver.

Supongamos que tenemos un sistema físico en el estado $|\Psi>$, y dos observables A y B, con espectros de valores propios discretos, pongamos ${\lambda}_{Ai }$ y ${\lambda}_{Bi }$ con vectores propios ${v}_{Ai }$ y ${v}_{Bi }$.

¿Qué ocurre si quiero hacer una medida simultánea de los dos observables? ¿Qué valores puedo obtener y con qué probabilidad? ¿Cuál es el estado del sistema tras la medida?

Es un problema que sale mucho en exámenes (yo ya llevo 3 suspensos ) y que nunca me han explicado.

[Becquerel]

Re: Medida simultánea de observables

¿El estado que te dan es propio de alguno de los dos operadores?

[vpleader]

Re: Medida simultánea de observables

No, creo que no...

[carroza]

Re: Medida simultánea de observables

Hola. Si mides primero A, e inmediatamente después B, los resultados son

$\lambda_{Ai}, \lambda_{Bj}$,

con probabilidad $P = <\psi|v_{Ai}>^2 <v_{Ai}|v_{Bj}>^2$, y el estado final es
$|v_{Bj}>$.


Sin embargo, si mides primero B e inmediatamente A, los resultados posibles son los mismos,

$\lambda_{Ai}, \lambda_{Bj}$,

pero las probabilidades son $P = <\psi|v_{Bj}>^2 <v_{Bj}|v_{Ai}>^2$, y el estado final es
$|v_{Ai}>$.


Si los operadores no conmutan, los autoestados son diferentes, con lo que las probabilidades de los resultados de medir A y luego B
son diferentes de los resultados de medir B y luego A; por tanto, no pueden hacerse medidas simultanes de A y de B.

Si los operadores conmutan, hay una base de autoestados comunes a A y B, con lo que las probabilidades son las mismas independientes del orden de A y B. Por tanto, sí podría hacerse una medida simultanea.

[vpleader]

Re: Medida simultánea de observables

Bien, y suponiendo que A y B conmuten, ¿cómo se hallarían y cuáles serían los valores posibles y las probabilidades?

[carroza]

Re: Medida simultánea de observables

Hola, como dije antes,

Si los operadores conmutan, hay una base de autoestados comunes a A y B, con lo que las probabilidades son las mismas independientes del orden de A y B. Por tanto, sí podría hacerse una medida simultanea.

En ese caso, puede elegirse una base tal que $<v_{Ai}|v_{Bj}>= \delta_{ij}$,
y puedes ver que las probabilidades, y el estado final, serían iguales.

Hay sutilezas para el caso de que haya autovalores degenerados, pero el argumento es básicamente el expuesto.