2o ciclo Rotaciones y momento angular

[gunbladecat]

Buenos dias compañeros,

Estoy intentando resolver el siguiente problema

"Demuestra que para toda representación de spin, el estado $e^{-i\pi J_x/\hbar}|j,m>$ es proporcional a $|j,-m>$ donde $|j,m>$ denota el estado propio a su vez de $J^2$ con valor propio $\hbar j(j+1)$ y de $J_z$ con valor propio $\hbar m$

El camino que he intentado seguir es expandir la exponencial y usar los operadores de escalera definidos como $J_{\pm}=J_x\pm i J_y$ puesto que conozco como estos actuan sobre estos estados. Así obtengo

$e^{-i\pi J_x/\hbar}|j,m>=\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{-i\pi}{2\hbar})^n(J_++J_-)^n\frac{1}{n!}|j,m>$

SIn embargo no consigo una expressión sencilla al expandir las potencias n-éssimas de $J_+$ y $J_-$ para poder calcularlo... Alguna idea? O alguna otra forma de hacerlo más sencillo?

Muchas gracias!

[carroza]

Re: Rotaciones y momento angular

Hola.

Has visto ya las rotaciones? Estás haciendo una rotación de Pi (180 grados), en torno al eje x, y por tanto, es obvio que cambias el signo de la proyección del momento angular.

Si quieres una demostración más formal, puedes considerar las matrices de rotación.¿Las has visto?

Saludos

[gunbladecat]

Re: Rotaciones y momento angular

Me gustaria la demostración formal. Y sí, he visto las matrices de rotaciones pero no acabo de ver como calcularlo.

He visto que toda rotación se puede explicitar en función de tres rotaciones respecto a las direcciones fijas x,y,z de la siguiente manera

$R(\alpha,\beta,\gamma)=R_z(\alpha)R_y(\beta)R_z(\gamma)$

y he razonado que una rotación de pi grados a lo largo del eje x és lo mismo que una rotación de pi grados a los largo del eje y. Luego debería calcular

$R_x(\pi)\|j,m\rangle=R_y(\pi)\|j,m\rangle$

pero no veo como actuan esas matrices de rotación sobre mis estados, por ello intenté hacer el desarrollo de la exponencial a ver si me salia algo... podria hacerlo para casos particulares de spin 1/2, spin 1 pues puedo construir las matrices de rotación explícitamente y hacer los cáclulos pero no logro hacerlo de una forma general que es lo que desearia.

Alguna idea? Gracias!

EDIT:
Creo que ya lo resoví. Os explico como y si veis algo mal me lo decís.
Lo que hice fue calcular el valor esperado de $J_z$ sobre los estados [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] de la siguiente manera (los subíndices R indican que se trata de los vectores rotados y sin subíndice se trata de los vectores sin rotar)

$\langle J_z\rangle _R=_R\langle j,m\| J_z\|j,m\rangle _R=\langle j,m\| e^{\frac{i\pi J_x}{\hbar}}J_ze^{\frac{-i\pi J_x}{\hbar}}\|j,m\rangle$

Luego usando el Lema de Baker-Hausdorff pude desarrollar el operador $e^{\frac{i\pi J_x}{\hbar}}J_ze^{\frac{-i\pi J_x}{\hbar}}$ y obtener

$e^{\frac{i\pi J_x}{\hbar}}J_ze^{\frac{-i\pi J_x}{\hbar}}=-J_z\cos(\pi)+J_y\sin(\pi)=-J_z$

Finalmente

$\langle J_z\rangle _R=-\langle j,m\| J_z\|j,m\rangle=-m\hbar$

Por lo tanto los estados $e^{\frac{-i\pi J_x}{\hbar}}\|j,m\rangle$ deben de ser proporcionales (salvo una fase global) a $\|j,-m\rangle$ puesto que son vectores propios de $J_z$ con vector propio $-m\hbar$

[carroza]

Re: Rotaciones y momento angular

Hola.

Lo siento, pero tu demostración no vale. No basta que el valor esperado sea -m para demostrar que el estado sea |j -m>.

Usa que la matriz $d^j_{m,n}(\pi) = \delta(m,-n)$, con una fase de la que no quiero acordarme.

[gunbladecat]

Re: Rotaciones y momento angular

no he visto esas propiedades de las matrices de rotación. me puedes recomendar algun texto donde lo explique con detenimiento? yo estoy usando el Sakurai pero no lo veo claro.

gracias.

[carroza]

Re: Rotaciones y momento angular

Hola.

Mis libros de cabecera para momentos angulares son el Brink & Satchler, y el Edmonds (ambos se llaman "Angular Momentum"), pero habrá otros muchos.

En wikipedia, tienes http://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_D-matrix

Saludos

[gunbladecat]

Re: Rotaciones y momento angular

muchísimas gracias. ahora me doy cuenta que no hemos dado casi nada de matrices de rotación. Estos libros me seran de gran ayuda.

Solo una pequeña cosa que ahora no veo. Las matrices $d^j_{m',m}$ representan rotaciones a lo largo del eje y. Como puedo traducirlo a rotaciones a lo largo del eje x? Imagino que deberia usar los ángulos de Euler pero no veo como.

EDIT:

he hecho algunos progresos y he llegado a la conclusión que una rotación a lo largo del eje x de $\pi$ se puede expresar, en notación de ángulos de Euler como $R(-\pi/2,\pi,\pi/2)=R(\pi/2,\pi,-\pi/2)$. Luego (usando la primera de las 2, la otra debería dar lo mismo)

$R_x(\pi) \|j,m\rangle =\sum_{m'}\|j,m'\rangle \langle j,m'\|D_{m',m}^j (-\pi/2,\pi,\pi/2)\|j,m\rangle =$

$=\sum_{m'}\|j,m'\rangle e^{-i(-m'\pi/2+m\pi/2)}d_{m'm}^j(\pi) =$

$=\sum_{m'}\|j,m'\rangle e^{-i\pi/2(m-m')}(-1)^{j+m}\delta_{m',-m}=e^{-im\pi}(-1)^{j+m}\|j,-m\rangle =$

$=(-1)^m(-1)^{j+m}\|j,-m\rangle =(-1)^{j+2m}\|j,-m\rangle$

que tal ahora?

[carroza]

Re: Rotaciones y momento angular

OK, vas progresando. El álgebra de momentos angulares es árida, pero muy bonita cuando le coges el punto.

Una cosilla: No utilices la doble barra para los kets. | en lugar de \|. La doble barra se usa en una cosa que se llama elementos de matriz reducidos, que encontrarás antes o después.

Saludos

[gunbladecat]

Re: Rotaciones y momento angular

Oops. Lo tendré en cuenta en mi notación futura. Luego el resultado al que he llegado es correcto?