Estado cuántico y función de onda

[ignorante]

Re: Estado cuántico y función de onda

Entendido pod, gracias.

[pod]

Re: Estado cuántico y función de onda

Pero de esto que dices pod, me surge otra duda (que no sé si ya sería para otro hilo, pero de momento la pongo aquí): Dices que el sistema puede estar en únicamente un estado, pero ¿que no existe la superposición de estados en la teoría cuántica?

Un estado superposición de estados es un estado, y sólo uno.

Igual que la suma de dos vectores da otro vector, y sólo uno.

[ignorante]

Re: Estado cuántico y función de onda

Gracias pod y a todos. Mi duda original ya quedó resuelta.

El sistema puede estar en uno (y solo en uno) de esos estados.

Pero de esto que dices pod, me surge otra duda (que no sé si ya sería para otro hilo, pero de momento la pongo aquí): Dices que el sistema puede estar en únicamente un estado, pero ¿que no existe la superposición de estados en la teoría cuántica?

[pod]

Re: Estado cuántico y función de onda

En resumen, una función de onda es parte de un estado cuántico, y un estado cuántico es parte de un espacio de Hilbert. ¿Estoy en lo correcto?

Sí, pero los dos "es parte de" tienen significados diferentes en ambas oraciones. El espacio de Hilbert es el conjunto de posibles estados en que se puede encontrar un sistema. El sistema puede estar en uno (y solo en uno) de esos estados. A su vez, el estado cuántico elegido contiene la función de onda y otra información. En cierto sentido, la función de onda es un "componente" del estado, el estado es un todo y la función de onda una parte a la que se le da un nombre separado por su importancia particular y también por motivos históricos.

[ignorante]

Re: Estado cuántico y función de onda

Hay infinitos espacios de Hilbert. Cualquier espacio vectorial que cumpla las condiciones puede ser de Hilbert. Los hay con dimensión finita (por ejemplo, el espacio de Hilbert de una partícula de spin 1/2 sin nada más que spin tiene dimensión 2); los hay de dimensión infinita (el espacio de Hilbert de una partícula que no tiene nada más que posición tiene dimensión infinita). El trabajo del físico consiste en elegir qué espacio de Hilbert es conveniente para un sistema cuántico concreto.

Gracias pod. Entonces, si entiendo bien, un espacio de Hilbert contiene todas las posibles "soluciones" de un estado cuántico, no? Por ejemplo, dices que el espacio de Hilbert del spin tiene dimensión 2. Supongo que es debido a que este estado cuántico sólo puede tener dos "soluciones": -1/2 y +1/2. De igual modo, supongo que en el estado cuántico referido a la posición, el espacio de Hilbert es de dimensión infinita, porque en este caso las posibles "soluciones" son infinitas: todas las posiciones del espacio real.

En resumen, una función de onda es parte de un estado cuántico, y un estado cuántico es parte de un espacio de Hilbert. ¿Estoy en lo correcto?

[pod]

Re: Estado cuántico y función de onda

Gracias pod, creo que ya voy captando un poquitín pero, como siempre, me surgen más dudas: si entendí bien, un espacio de Hilbert es el conjunto de todas las funciones de onda que puede tener un sistema, ¿no? Entonces ¿un espacio de Hilbert es lo mismo que un estado cuántico? ¿Existen muchos espacios de Hilbert distintos o es uno solo? ¿Existen muchos estados cuánticos o es uno solo?

Matemáticamente, un espacio de Hilbert no es más que un espacio vectorial que cumple unas determinadas condiciones. Todos los vectores del espacio de Hilbert representan un estado cuántico (aquí hay una sutileza: en cuántica siempre normalizamos los estados, así que si dos vectores del espacio se diferencian sólo en su normalización, entonces representan el mismo estado; matemáticamente decimos que en vez de tractar con vectores directamente, tratamos con "rayos"; pero al efecto de este hilo podemos ignorar esta sutileza).

Hay infinitos espacios de Hilbert. Cualquier espacio vectorial que cumpla las condiciones puede ser de Hilbert. Los hay con dimensión finita (por ejemplo, el espacio de Hilbert de una partícula de spin 1/2 sin nada más que spin tiene dimensión 2); los hay de dimensión infinita (el espacio de Hilbert de una partícula que no tiene nada más que posición tiene dimensión infinita). El trabajo del físico consiste en elegir qué espacio de Hilbert es conveniente para un sistema cuántico concreto.

Cualquier espacio de Hilbert con dimensión igual o superior a dos contiene infinitos estados cuánticos.

[ignorante]

Re: Estado cuántico y función de onda

Gracias pod, creo que ya voy captando un poquitín pero, como siempre, me surgen más dudas: si entendí bien, un espacio de Hilbert es el conjunto de todas las funciones de onda que puede tener un sistema, ¿no? Entonces ¿un espacio de Hilbert es lo mismo que un estado cuántico? ¿Existen muchos espacios de Hilbert distintos o es uno solo? ¿Existen muchos estados cuánticos o es uno solo?

[pod]

Re: Estado cuántico y función de onda

¿Pero cuando uno habla digamos de ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo no estaría hablando de que la función de onda depende del tiempo?

Ah, cierto. La función de onda puede cambiar con el tiempo. Ergo, debo añadir a lo que dije: depende de las variables del espacio y del tiempo. Es decir, es un objeto que para cada punto del espacio tiene un valor diferente, y ese valor puede cambiar con el tiempo.

Gracias por el matiz Elkin.

[Elkin]

Re: Estado cuántico y función de onda

[FONT=Verdana]

Como su nombre indica, es una función. Depende de las variables del espacio. Es decir, es un objeto que para cada punto del espacio tiene un valor diferente.

Un ejemplo, la función de onda de un pozo infinito en una dimensión (por lo tanto, sólo depende de una coordenada espacial, x):

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¿Pero cuando uno habla digamos de ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo no estaría hablando de que la función de onda depende del tiempo?

[pod]

Re: Estado cuántico y función de onda

[FONT=Verdana]Pero ahora tengo otra duda: si entiendo bien, la función de onda es una ecuación en coordenadas de espacio y tiempo. En palabras pedestres es una "fórmula matemática".[/FONT]

[FONT=Verdana]

Como su nombre indica, es una función. Depende de las variables del espacio. Es decir, es un objeto que para cada punto del espacio tiene un valor diferente.

Un ejemplo, la función de onda de un pozo infinito en una dimensión (por lo tanto, sólo depende de una coordenada espacial, x):

$$\psi(x) = A \sin \frac{n \pi x}{L} \ \theta(x) \theta(L-x) .$$

Donde A es una constante (se tiene que elegir siguiendo un procedimiento de normalización estándar en mecánica cuántica) y $\theta$ es la función paso.


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[FONT=Verdana] ¿El estado cuántico también es una ecuación, o es otra cosa? Podrías poner por favor un ejemplo específico de una función de onda y de un estado cuántico para un mismo sistema?[/FONT]

Es un objeto abstracto. Se representa mediante un vector que pertenece a un espacio vectorial de Hilbert. Hay muchos tipos de espacios de Hilbert, por ejemplo las funciones de cuadrado integrable (es decir, las funciones de onda como la que puse antes) forman un espacio de Hilbert. Los vectores de 2 dimensiones también son un espacio de Hilbert (se utilizan, por ejemplo, para indicar el espacio de Hilbert del spin). La notación usual es la de "kets", por ejemplo $\big|\psi \big>$.

Como hemos ido diciendo, la función de onda se puede extraer del estado. En particular, en la notación de kets, $\psi(x) = \big< x \big| \psi \big>$.

[ignorante]

Re: Estado cuántico y función de onda

[FONT=Verdana]

El estado incluye toda la información que existe para ese sistema. La información que exista depende de qué sistema cuántico estudiamos. Por ejemplo: spin, isospin, color, sabor, etc.

Gracias pod, pero aquí ya desbordaste mis muy limitados conocimientos del tema. Tengo nociones de lo que es el spin, pero ignoro lo del isospin, color, sabor,etc. Quizás en otros hilos les pregunte sobre estas cosas raras.

Pero ahora tengo otra duda: si entiendo bien, la función de onda es una ecuación en coordenadas de espacio y tiempo. En palabras pedestres es una "fórmula matemática". ¿El estado cuántico también es una ecuación, o es otra cosa? Podrías poner por favor un ejemplo específico de una función de onda y de un estado cuántico para un mismo sistema?

Gracias.[/FONT]

[pod]

Re: Estado cuántico y función de onda

Gracias a todos por sus respuestas.



Hola pod, ¿qué información adicional tiene el estado cuántico que no incluye la función de onda?

Pues, según la versión de la nomenclatura que estoy comentando yo, la función de onda sólo incluye la información relativa a la distribución de probabilidades de la posición (y de esa información siempre se puede obtener la distribución de momentos).

El estado incluye toda la información que existe para ese sistema. La información que exista depende de qué sistema cuántico estudiamos. Por ejemplo: spin, isospin, color, sabor, etc.

Incluso podemos teóricamente imaginar un sistema cuántico donde no haya información de la posición (a la práctica, eso lo hacemos cuando la posición no nos interesa y factorizamos el estado para fijarnos en otras partes del mismo, por ejemplo en la parte de spin); en ese caso teórico (y siempre según esta versión de la nomenclatura) el sistema no tiene función de onda.

[ignorante]

Re: Estado cuántico y función de onda

Gracias a todos por sus respuestas.

la función de onda representa la parte espacial del estado, que contiene más información.

Hola pod, ¿qué información adicional tiene el estado cuántico que no incluye la función de onda?

[pod]

Re: Estado cuántico y función de onda

Con tu (vuestro) permiso, continúo sometiendo a contraste mis conceptos: respecto de la función de onda de espín, yo la entiendo como un factor que debe multiplicar a la función de onda espacial (o de momentos, como has dicho) para describir el estado cuántico de un electrón, por ejemplo. Quiero decir, que en sí misma no sería una "verdadera" función de onda, pero sí el producto anterior.

Siempre suponiendo que el entrelazamiento te permita hacer esa factorización...

No hay nada malo con usar la nomenclatura de esa forma.

No obstante, a mi particularmente me parece un poco un abuso de lenguaje. El término función de onda procede de la formulación de Schrödinger de la mecánica cuántica por analogía con las ondas mecánicas (hay un procedimiento muy bonito por el que se puede llegar a la ecuación de Schödinger simplemente siguiendo esa analogía a partir de la ecuación de Hamilton-Jacobi). Esa formulación no incluía nada más que las posiciones/momentos.

La formulación más potente que conocemos hoy en día proviene de Dirac, quien básicamente unificó la cuántica de Schödinger con otras que había por aquél entonces (como la mecánica matricial de Heisenberg, si no recuerdo mal). Dirac introducía el concepto de estado abstracto (representado mediante un ket) del que aplicando diferentes aplicaciones (productos internos con diferentes bras) se obtenía tanto la función de onda de Schödinger como los elementos de matriz de Heisenberg.

Por eso, siendo (probablemente innecesariamente demasiado, pero ya que ignorante pregunta...) puristas con la nomenclatura, lo más correcto historicamente posiblemente sea decir que la función de onda representa la parte espacial del estado, que contiene más información.

[arivasm]

Re: Estado cuántico y función de onda

También es cierto que en ocasiones se oye hablar de "función de onda de spin", por ejemplo. Pero eso, a mi me parece que no tiene mucho sentido, una función de onda en el sentido más estándar de la palabra es algo que depende del tiempo y de la posición y tiende a "ondular", pero el spin no depende del espacio sino de variables internas.

Con tu (vuestro) permiso, continúo sometiendo a contraste mis conceptos: respecto de la función de onda de espín, yo la entiendo como un factor que debe multiplicar a la función de onda espacial (o de momentos, como has dicho) para describir el estado cuántico de un electrón, por ejemplo. Quiero decir, que en sí misma no sería una "verdadera" función de onda, pero sí el producto anterior.