2o ciclo Notación de Dirac: duda con la transformación de estados iniciales.

[Xay]

Buenas tardes,

llevo ya días dándole vueltas a dos problemas de examen que no consigo resolver, y mi problema principal es que no consigo transformar los estados iniciales que me dan a la notación de Dirac, que es la que usualmente usamos en clase. Una vez hecho esto, no tendría ningún problema para resolver el resto de los ejercicios, pero sin ellos no puedo hacer nada... Pongo los ejemplos, espero que alguien me pueda resolver la duda...


1) Es una partícula sometida a un potencial armónico centrado en x=0, con frecuencia $\omega$. El estado inicial es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (es h con barra, no h, y N es una constante de normalización)

Como datos, tengo los estados estacionarios del oscilador, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , con $\beta=\sqrt{\frac{M \omega}{h }}$ y los $H_n$ son polinomios tales que $H_0 = 1$, $H_1 = 2z$, $H_3 = 4z^2 -2$...


Lo que suelo hacer normalmente en este tipo de problemas es descomponer la exponencial en producto de varias exponenciales y tratar de identificar los términos que aparecen con alguno de los estados fundamentales del oscilador, $\varphi_1 , \varphi_2 , ...$. Sin embargo, en este caso, no lo conseguí, las exponenciales no coinciden con nada de lo que tengo por ahí... ¿alguna idea?



2) Tenemos dos partículas, con $j_1 = \frac{1}{2 } y j_2 = \frac{1}{2 }$, en un campo magnético de módulo constante y dirección la del eje z positivo. El estado inicial es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , en la base común a$\left\{ \vec{J^2_1},\vec{J^2_2},J_1x,J_2y\right\}$

En cuanto a este, mi principal problema es que he hecho el producto tensorial de espacios de estados para una partícula en una y dos dimensiones, y para dos partículas en una dimensión (la misma), pero nunca para dos partículas en dos dimensiones. He estado buscando ejemplos de cómo sería pero no he encontrado demasiado, si alguien me pudiera decir más o menos qué pinta tendría el producto tensorial ese, o cómo hacerlo, se lo agradecería mucho...


Un saludo a todos y gracias de antemano.

[carroza]

Re: Notación de Dirac: duda con la transformación de estados iniciales.

Hola.

Para el problema 1, calcula el solapamiento de tu función de onda inicial con la primera función de oscilador armónico $\varphi_0(x)$. Esto es facil, porque solo es una integral de exponenciales. Luego, la integral y el resultado (que debe ser función de gamma, p_0 y beta, los derivas con respecto a p_0. A partir de ahí, puedes calcular es solapamiento con $\varphi_1(x)$. Si sigues derivando, encuentras expresiones para el solapamiento con
$\varphi_n(x)$.

Para el problema 2, desarrolla tus estados en una base de autoestados de $J_{1z}, J_{2z}$. Si has dado matrices de rotación, esto es muy simple. Si no, pregunta de nuevo.

Saludos

[Xay]

Re: Notación de Dirac: duda con la transformación de estados iniciales.

Hola Carroza,

muchas gracias por la respuesta. Al final el primero conseguí hacerlo tratando el estado inicial sólo como función de onda y por integrales, más o menos como dices tú. El segundo tardé bastante en hacerlo, cambié de base los dos vectores a J1z y J2z y me salió también.

En cualquier caso, muchas gracias