Divulgación Espacio de Hilbert & Cuantica

[natanael]

No sé donde conseguir información seria sobre esto a parte de la Wikipedia. Posiblemente alguien dentro del foro tenga una defición diferente (pero que es la misma que da la Wikipedia o la que sea correcta), sobre qué es, cómo se come y que tiene que ver los Espacios de Hilbert con la matemática usada en cuántica?

Saludos!

[guibix]

Re: Espacio de Hilbert & Cuantica

No sé donde conseguir información seria sobre esto a parte de la Wikipedia. Posiblemente alguien dentro del foro tenga una defición diferente (pero que es la misma que da la Wikipedia o la que sea correcta), sobre qué es, cómo se come y que tiene que ver los Espacios de Hilbert con la matemática usada en cuántica?

Saludos!

La definición de lo que es un espacio de Hilbert que da la Wikipedia es bastante completa (y por supuesto correcta).

En realidad un espacio de Hilbert, no es más que una generalización y extensión de espacios vectoriales euclídeos en el cuerpo de complejos (y reales por inclusiónn) para cualquier número de dimensiones (incluso infinitas).

Respecto a su aplicación en cuántica no puedo ayudar mucho. Creo que lo que hay que entender principalmente es que un estado cuántico se describe por un número determinado de estados independientes superpuestos. Cada estado elemental se puede representar como un vector complejo, y como es independiente de los demás, se puede considerar que cada estado está en un eje perpendicular a los demás (ortogonalidad). Cada estado "define" una dimensión del espacio. El estado total es el vector resultante de la suma de los vectores de sus estados posibles. La probabilidad de obtener la medida de un determinado estado, viene dada por la contribución del vector de dicho estado tiene con el vector resultante. Esto no sé si es exactamente así o solo una burda explicación, pero creo que más o menos es esto.

Además si el número de estados posibles es infinito (como la frecuencia de un determinado fotón), entonces el espacio usado de Hilbert tiene infinitas dimensiones. Si cada vector de un espacio de dimensión finita $n$ se representa con una sucesión de $n$ números, entonces un espacio de dimensión infinita se puede describir como una función continua de infinitos valores. En donde cada valor de la variable es una dimensión ortogonal a las demás y el valor de la función para cada valor de la variable es la componente del vector para esa dimensión.

Al extender un espacio de funciones a un espacio vectorial de dimensión infinita, se pueden definir las misma propiedades que se aplican a los vectores para que las cumplan las funciones. Solo hay que pasar las expresiones a sumatorios y estas a integral.

El módulo o norma de un vector complejo $\vec{a}$ con los coeficiente $a_i,$ se puede expresar como

$$|\vec{a}|=\sqrt{\sum_{i=1}^n \bar{a}_ia_i}$$

siendo $\bar{a}_i$ el conjugado complejo de $a_i$, que para vectores en los reales se cumple $\bar{a}_i=a_i.$ Debido a que los incrementos de $i$ valen uno, lo podemos "preparar" para hacer el límite. Como un vector de infinitas dimensiones tendría un módulo infinito, al multiplicarlo por $\Delta i$ el módulo no crecerá al añadir componentes intermedias no enteras, porqué $\Delta i$ disminuirá.

$$|\vec{a}|=\sqrt{\sum_{i=1}^n \bar{a}_ia_i}\,\Delta i$$

De aquí podemos pasar los coeficientes $a_i$ a una función continua $f(x)$. Y haciendo el límite y pasado de un incremento en $i$ a un diferencial $\dd x,$ obtenemos

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
No debe confundirse el módulo o norma con el valor absoluto $||f(x)||\neq|f(x)|.$ A la izquierda se tiene la longitud del vector y a la derecha el valor absoluto para cada una de sus componentes, cosa que no es lo mismo.

El producto escalar se define con el mismo procedimiento:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\sum_{i=1}^n \bar{a}_ib_i\Delta i\to$$

$$\big< f(x)\big|g(x)\big>=\int_{x_0}^x \bar{f}(x)g(x)\dd x$$

Aquí puedes ver la notación "bra-ket" de Dirac tan extendida en cuántica. En esta notación $\big|a\big>$ es un vector y $\big< a\big|$ es su conjugado complejo. Siempre que veas el "bra-ket" completo estás viendo un simple producto escalar de vectores.

También se puede hallar el ángulo entre dos funciones/vectores mediante la definición de producto escalar como producto de los módulos por el coseno del ángulo

$$\cos\angle_{fg}=\frac{\big< f(x)\big|g(x)\big>}{||f(x)||\,||g(x)||}$$

No puedo explicarme más en sus aplicaciones en cuántica, pues si bien he visto como plantear y resolver algunos problemas, no sabría plantear (ni mucho menos resolver) la mayoría del resto de problemas.

Espero que te sirva y a ver si alguien con más conocimientos puede mejorar y/o corregir mi explicación.

Saludos.

[carroza]

Re: Espacio de Hilbert &amp; Cuantica

Hola.

Guibix te ha explicado correctamente el formalismo de los espacios de hilbert.

Yo intentaré darte una idea de por qué hacen falta estos espacios en mecánica cuántica (y no en mecánica clásica).


En mecánica clásica, determinas el estado de una partícula dando su posición y su momento (6 números, para una partícula en 3 dimensiones). Dado un estado inicial, puedes obtener el estado en un instante posterior usando las ecuaciones de Hamilton. El conjunto de todos los estados posibles es igual al conjunto de todos los puntos en un espacio de 6 dimensiones .
Estos estados no se pueden sumar y restar. Una partícula clásica está en A o está en B, pero no está en una combinación de ambos estados. Por tanto, todos los estados posibles forman un conjunto, pero no un espacio vectorial.

En mecánica cuántica, determinas el estado de una partícula en tres dimensiones mediante una función de onda. Estas funciones se pueden sumar, restar, multiplicar por números complejos, etc, y te dan funciones de onda posibles de la partícula. Por tanto, para describir el conjunto de todos los estados posibles necesitas un espacio vectorial. A esto le metes la restricción de que los estados deben estar normalizados, y tuienes un espacio de Hilbert.

Un saludo

[hennin]

Re: Espacio de Hilbert &amp; Cuantica

También quisiera añadir la diferencia fundamental sobre el concepto de observable físico. En mecánica clásica es una simple función, mientras que en QM se representa mediante un operador entre espacios de Hilbert.

[natanael]

Re: Espacio de Hilbert &amp; Cuantica

guibix, gracias por la primera parte, pero la parte del formalismo matemático te la agradeceré en un futuro cuando pueda entenderla . Y gracias hennin, por el dato. Por otra parte, la explicación de carroza es excepcional!, tan pedagógico que creo que con un curso básico de algebra lineal y mecánica de 1er año de física es suficiente para entener más o menos!

Sin embargo sólo quedan algunas dudas, un vector complejo sería una cosa como ésta: $x_i\hat{x}_i$ donde los $x_i\in\mathbb{C}$?

Y carroza, esto

El conjunto de todos los estados posibles es igual al conjunto de todos los puntos en un espacio de 6 dimensiones

Ese sería el espacio de configuración?, si lo es, entonces es todo el espacio siempre, o puede tener una especie de dominio en el cual sólo puedan existir ciertos estados? y disculpa la ignorancia que tenga a estas alturas, pero ¿qué es normalizar en este contexto?

[guibix]

Re: Espacio de Hilbert &amp; Cuantica

guibix, gracias por la primera parte, pero la parte del formalismo matemático te la agradeceré en un futuro cuando pueda entenderla .

Bueno, aquí lo tienes si lo necesitas . Con que entiendas que es simplemente un espacio vectorial generalizado es suficiente.

Sin embargo sólo quedan algunas dudas, un vector complejo sería una cosa como ésta: $x_i\hat{x}_i$ donde los $x_i\in\mathbb{C}$?

Como sabrás, un vector es un arreglo de números. Los vectores "tradicionales" son un arreglo de números reales $\vec{u}=(u_1,u_2..u_i...u_n),\,u_i\in \mathbb{R}.$ La diferencia con un vector complejo es que $u_i\in \mathbb{C}.$ O sea que cada número del arreglo tiene una dos valores: una parte real y otra imaginaria.

Ese sería el espacio de configuración?, si lo es, entonces es todo el espacio siempre, o puede tener una especie de dominio en el cual sólo puedan existir ciertos estados?

¿Qué quieres decir con si puede tener una especie de dominio en el cual sólo pueden existir ciertos estados? En todo caso, dejo que mejores expertos te clarifiquen este punto.

¿qué es normalizar en este contexto?

En este caso normalizar es hacer que el área bajo la curva de una función sea igual a uno. Por ejemplo, esto sirve si tomas el espectro continuo de una fuente lumínica y la "normalizas" para que su área bajo la curva sea 1, entonces tienes la distribución de probabilidad para la frecuencia de cada fotón individual. En otro ejemplo, puedes describir una partícula como la suma de ondas armónicas. El cuadrado de la onda resultante te dará una función de distribución que si se normaliza para que su área sea 1, te da la distribución de probabilidad de encontrar la partícula en cada punto para cada instante de tiempo.