2o ciclo Álgebra abstracta y Física cuántica

[angel relativamente]

Hola compañeros. Este año estoy cursando en el grado en Matemáticas la asignatura de Estructuras Algebraicas en donde se hace una amplia introducción a la teoría de grupos. La cosa es que me parece, dentro de las asignaturas de Matemáticas que tengo, la más abstracta de todas. Sin embargo he oído que tiene mucha relación con la Física Cuántica y me gustaría saber dónde está el nexo entre estos conceptos abstractos y la naturaleza.

Muchas gracias.

[carroza]

Re: Álgebra abstracta y Física cuántica

Hola.

Una rápida tabla de equivalencias, con ejemplos

Teoría de Grupos	Física Cuántica	Ejemplo
Elementos del grupo	Transformaciones de Simetría	SO(3): Rotaciones
Generadores	Cantidades conservadas	Lx, Ly, Lz
Constantes de estructura	Relaciones de conmutación	[Lx, Ly} = i Lz
Representaciones irreducibles	Estados cuánticos	Estados (p. ej. del átomo) con momento angular bien definido |JM>
Operadores de Casimir	Números cuánticos	L2=(Lx2+Ly2+Lz2)

[Rodri]

Re: Álgebra abstracta y Física cuántica

No soy para nada experto en este tema, pero alguna idea sí te puedo dar, a la espera de que nuestros expertos del foro se manifiesten.

En la Mecánica Cuántica, como quizá ya conozcas, toda la información de un sistema físico se describe matemáticamente mediante un objeto abstracto que llamamos "estado" y que formalmente es un vector de un espacio de Hilbert, el "espacio de los estados". Por otra parte cualquier magnitud mecánica observable (como la posición, cantidad de movimiento, energía, momento angular, etc.) está asociada a un operador en ese espacio de Hilbert. Además, existen magnitudes que no tienen paralelismo en la Mecánica Clásica, como el spin, que también tienen operadores asociados.
El caso es que un tema fundamental en todo esto es el estudio de la invariancia de los sistemas físicos bajo una transformación de coordenadas y la relación de esta invariancia con la conservación de magnitudes. En esto, el operador hamiltoniano (que corresponde al observable "energía del sistema") juega un papel central. Por ejemplo, si en un sistema físico el hamiltoniano es invariante al aplicar una rotación de coordenadas espaciales, se trata de un sistema físico en el que se conserva el momento angular. Algebraicamente esto quiere decir que el operador momento angular conmuta con el operador hamiltoniano. Otro ejemplo: si el hamiltoniano es invariante bajo una traslación de coordenadas espaciales, entonces el momento lineal se conserva y algebraicamente, se tiene que el operador momento lineal conmuta con el operador hamiltoniano. Así se tiene una correspondencia entre operadores y transformaciones geométricas (rotaciones, simetrías, etc.).

En el fondo estos ejemplos no son más que una versión cuántica de un teorema clásico llamado Teorema de Noether. Pero sucede que en Cuántica, esta correspondencia entre invariancia por transformación y conservación de magnitudes tiene un papel aún más acentuado. Existen algunas magnitudes que no tienen paralelismo clásico, como el spin de las partículas, que se expresan mediante operadores algebraicos en el espacio de estados y que dan lugar al estudio de ciertas simetrías de los sistemas físicos. En dicho estudio los conceptos de grupo de simetrías, rotaciones, etc. son fundamentales y eso enlaza directamente con la teoría de grupos.
En la Física de partículas aparecen toda una serie de propiedades exclusivamente cuánticas (spin, isospin, extrañeza, etc.) que se estudian con ayuda de la Teoría de Grupos y que permiten clasificar las partículas fundamentales. Pero también te diré que en el fondo dudo que sea posible entender su verdadero significado si uno no hace un doctorado o similar en estos temas. Cuando yo estudié estos conceptos en Física Nuclear me limité a memorizar la tabla de clasificación de las partículas sin entender realmente muchas cosas. Queda muy bonito hablar de estas cosas al público "no iniciado" pero me pregunto cuantos titulados en Física realmente saben de lo que están hablando... Yo desde luego sólo tengo algunas nociones vagas, y eso es lo que quería transmitirte.

Un saludo
Rodri

[jinawee]

Re: Álgebra abstracta y Física cuántica

Las aplicaciones de la teoría de grupos (más en concreto las álgebras y sus representaciones) en Física son enormes.

Por citar algunos ejemplos: el grupo de transformaciones que deja invariante el intervalo relativista en Relatividad Especial es grupo de Poincare (SO(3,1) es un subgrupo de él), el espín surge al considerar las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré, las interacciones del modelo estándar se describen por U(1)xSU(2)xSU(3), el isospín, la hipercarga, cristalografía, monopolos magnéticos, las formas de Killing en relatividad general, osciladores acoplados, teorías de unificaión, etc.

En general siempre que haya algún tipo de simetría se puede aplicar teoría de grupos.

[[Beto]]

Re: Álgebra abstracta y Física cuántica

Hola compañeros. Este año estoy cursando en el grado en Matemáticas la asignatura de Estructuras Algebraicas en donde se hace una amplia introducción a la teoría de grupos. La cosa es que me parece, dentro de las asignaturas de Matemáticas que tengo, la más abstracta de todas. Sin embargo he oído que tiene mucha relación con la Física Cuántica y me gustaría saber dónde está el nexo entre estos conceptos abstractos y la naturaleza.

Muchas gracias.

Esa tema es importante, aunque imagino que en esa asignatura no llegarán a ver grupos continuos que son los que más tienen aplicación en Física, en mates esas cosas se ven con calma .