2o ciclo Problema de perturbaciones

[cosapocha]

Buenas, preciso ayuda urgente con este ejercicio que no tengo idea como hacer:

Sea una partcula sometida a un potencial de tipo oscilador armonico V (x) = kx^2
Suponga que la partcula se encuentra en el estado fundamental en el lmite no relativista. Calcule la perturbacion a primer orden debida a la primera correccion relativista.

Muchas gracias!

[[Beto]]

Re: Problema de perturbaciones

Hola, para resolver este ejercicio tienes que tomar en cuenta lo siguiente:

• Un oscilador armónico cuántico tiene los siguientes niveles de energía:

$$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)~~~~~~n=0,1,2,3,\cdots$$

entonces si estás en el estado fundamental $n=0$, entonces la energía de ese estado es $E=\hbar\omega$

• Recordando algo de relatividad especial, a la energía cinética $T=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}-mc^2$ la puedes expandir en serie de la siguiente manera

$$T=\frac{p^2}{2m}-\frac{p^4}{8m^3c^2}+\cdots$$

nota que el primer término corresponde a la energía cinética sin corrección relativista y los demás son términos de corrección.

• Te piden que uses únicamente el primer término de corrección es decir $\dst W=-\frac{p^4}{8m^3c^2}$, como puedes notar el orden de magnitud de este término es pequeño en comparación con el Hamiltoniano sin perturbar, por lo tanto puedes usar teoría de perturbaciones, a primer orden tendrías que:

$$E^{(1)}_n=\langle\varphi_n|W|\varphi_n\rangle$$

donde sería bueno que hicieras uso de los operadores escalera y expresar el operador momento de la siguiente manera:

$$p=i\sqrt{\frac{m\hbar\omega}{2}}(-a+a^\dagger)$$

luego elevas eso a la 4, reemplazas la expresión en $W$ y con algo de álgebra puedes determinar lo que te piden.

PD: no olvides que $n=0$