2o ciclo Duda con Ec Dirac y átomo de hidrógeno

[[Beto]]

Mi problema es el siguiente, tengo la ecuación de Dirac para el él átomo de hidrógeno:

$$i\hbar\frac{\partial \chi}{\partial t}=\left(c\hat\alpha\cdot \hat p+\hat\beta m c^2+eA_0\right)\chi$$

donde como sabemos $\chi=\begin{pmatrix} \tilde\psi\\\tilde\varphi\end{pmatrix}$ es un espinor de cuatro componentes.

Yo puedo resolverla y luego de mucha álgebra llegar a mostrar que

$$E_{nj}=mc^2\left[1+\left(\frac{\alpha}{n-(j+\frac{1}{2})+\sqrt{(j+\frac{1}{2})^2-\alpha^2}}\right)^2\right]^{-\frac{1}{2}}$$

donde $\alpha$ es la constante de estructura fina, ysi hago una expansión en serie a orden $\alpha^4$ obtengo los términos de corrección de energía relativista y el debido al acople spín órbita.

Pero no quiero hacerlo de esta manera, ya que es muy extenso el proceso y me interesa únicamente los términos de estructura fina, por eso me gustaría mostrar que el hamiltoniano de Dirac se puede escribir como

$$H=H_s+W_{\text{rel}}+W_{\text{SO}}+W_{\text{D}}+\cdots$$

donde $H_s$ es el hamiltoniano de Schrödinger o hamiltoniano no relativista, $W_{\text{rel}}$ es la corrección relativista a la energía cinética, $W_{\text{SO}}$ es el término espín--órbita, $W_{\text{D}}$ es el llamado término de Darwin

y luego por teoría de perturbaciones obtener los términos de corrección de energía ... pero no se me ocurre como conseguir expresar el hamiltoniano de Dirac en una serie de esa forma.

Agradecería me pudieran ayudar.

Un saludo.