2o ciclo Términos de corrección en el átomo de hidrógeno

[[Beto]]

Hola, he estado pensando en la siguiente cuestión:

Cuando se estudia un átomo hidrogenoide, y se realizan correcciones en la energía, se lo hace partiendo de un potencial de la forma $V=-\dfrac{e^2}{r}$. Entonces con esto puedo obtener por ejemplo las correcciones de interacción spín-órbita, interacción spín-spín y el término de Darwin.

Pero ¿qué pasaría si considero un potencial $V(r)$ no necesariamente Coulombiano? ... ¿Cómo se modificarían los términos de corrección?


Lo que yo he pensado es que los términos de corrección en general son proporcionales a $\nabla V(r)$, entonces según sea el potencial cambiarían dependiendo de cuanto sea su gradiente, pudiéndose así por ejemplo proponer un potencial un poco más realista donde el núcleo no sea considerado necesariamente un punto ...

¿O quizás hay algo más que deba de considerar ?

Agradezco cualquier comentario.

Un saludo.

[carroza]

Re: Términos de corrección en el átomo de hidrógeno

Hola.

Si el potencial no es estrictamente coulombiano, la forma más eficiente de tener en cuenta los efectos es tomar la diferencia $\Delta V(r) = V(r)-(-e^2/r)$,
y tratarlo perturbativamente.

De esta forma, al orden más bajo, la correccion en la energía será el elemento de matriz de $\Delta V(r)$ entre funciones hidrogenoides.

Saludos

[[Beto]]

Re: Términos de corrección en el átomo de hidrógeno

Hola nuevamente, he llegado a lo siguiente:

Para la interacción spín órbita:

$$W_{SO}=\frac{1}{m_e^2c^2}\frac{1}{R}\frac{\dd V(R)}{\dd R}$$

Para el término de Darwin:

$$W_D=\frac{\hbar^2}{8m_e^2c^2}\nabla^2V(R)$$

Donde si considero un potencial un poco más realista que el de Coulumb, por ejemplo si considero al núcleo como una esferita de radio $r_0$ con un potencial constante en su interior y un potencial coulombiano en el exterior, obtengo una corrección a la energía del orden de los $10^{-13}eV$ pero que solamente afecta al nivel $s$.

Para la interacción spín-spín no tengo muy claro como escribir el hamiltoniano en función del potencial, y acá agradecería cualquier sugerencia.

Lo que quiero es tener una idea cualitativa y semi-cuantitativa (en orden de magnitud) para ver que sucede cuando se propone un potencial de la forma general $V=V(r)$, esto es más para dar una explicación algo divulgativa de este tema, sin profundizar mucho en formalismos de la mecánica cuántica.

Gracias de antemano.

[carroza]

Re: Términos de corrección en el átomo de hidrógeno

Hola de nuevo. Aparte de correcciones relativistas como las que expresas, si consideras al nucleo como una esfera de radio r_0,
el potencial que genera es

$V(r) = - Z {e^2 \over R} , R> r_0$

$V(r) = - Z {e^2 \over r_0} (3/2 - 1/2 R^2/r_0^2), R\le r_0$

Si quieres ver el efecto sobre las energias de usar este potencial, en lugar del potencial hidrogenoide $- Z {e^2 \over R}$, basta con que tomes los elementos de matriz de

$\Delta V(r) = V(r) - ( - Z {e^2 \over R}) = - Z {e^2 \over r_0} (3/2 - 1/2 R^2/r_0^2 - r_0/R ), R\le r_0$

Esta integral es muy sencilla, particularmente cuando r_0 es muy pequeña comparado con el radio del átomo de Bohr.

Saludos