1r ciclo Probabilidad de ser reflejada

[jssln]

La cuantica y yo nos llevamos a morir...¿me podeis ayudar a resolverlo? Porque la explicación del post anterior no la he entendido

Una particula se acerca por la izquierda al perfil de energia potencial de la figura. La particula tiene una energia total E mayor que la altura del escalón U. La función de onda en la región donde U(x)= 0 cumple $\psi$ (x) = Ae^ik1x + Be^-ik1x, el primer termino representa la particula incidente y el segundo termino la particula reflejada. En el resto del espacio se cumple $\psi$= Ce^ik2x, que representa la particula transmitida. Asumiendo que la función de onda y su derivada deben ser continua, calcula:

a) La probabilidad de que la particula sea reflejada. R₁ = B² / A² como funcion de k₁ y k₂
b) La probabilidad de que la particula sea reflejada, R₂, en el caso de que E= 7.00 eV y U= 5.00 e.

[Breogan]

Re: Probabilidad de ser reflejada

Hola:

Hace mucho que estudie esto, así que puedo cometer algún error, pero a su vez me puede servir como una especie de repaso.

Primero decir que vamos a colocar nuestro sistema de referencia con su origen coincidente con el escalón, y vamos a llamar región 1 a la que queda a la izquierda del eje "y", y región 2 a la otra.

Escribimos la ecuación de Schrodinger unidimensional independiente del tiempo:

$\dst - \frac {\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2 \psi (x)}{\partial x^2} + V(x) = E \psi(x)$

La ecuación anterior tiene una expresión y solución diferente para cada región.

Region 1 - x<0 $\bold{\Rightarrow}$ V(x) = 0:

En esta región la ecuación anterior queda:

$\dst - \frac {\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2 \psi_1 (x)}{\partial x^2} = E \psi_1(x)$

Cuya solución es:

$$\dst \psi_1 (x) = A \ee^{i k_1 x} + B \ee^{- i k_1 x}$$

donde $\dst k_1^2 = \frac {2 m E}{\hbar^2}$


Region 2 - x>0 $\bold{\Rightarrow}$ V(x) = V₀:

En esta región la ecuación inicial de Schrodinger queda:

$\dst - \frac {\hbar^2}{2 m} \frac{\partial^2 \psi_2(x)}{\partial x^2} + V_0= E \psi_2(x)$

Cuya solución es:

$\dst \psi_2 (x) = C \ee^{i k_2 x} + D \ee^{- i k_2 x}$

pero como en esta región no hay reflexión de la partícula porque no hay ninguna discontinuidad en el potencial, la amplitud de la onda reflejada debe ser cero, es decir D=0,

$$\dst \psi_2 (x) = C \ee^{i k_2 x}$$

donde $\dst k_2^2 = \frac {2 m}{\hbar^2} (E-V_0)$

Las ecuaciones (1) y (2) son las que das en tu enunciado, a estas hay que aplicarles las siguientes condiciones de frontera:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La condición de que ambas ondas tengan el mismo valor en x=0 (punto del escalón de V) de la (1) y la (2) nos da que:

$\dst \psi_1 (0) = A \ee^{i k_1 0} + B \ee^{- i k_1 0} = C \ee^{i k_2 0} = \psi_2 (0)$

$$\dst \boxed{A + B = C}$$

La 2º condición, que las derivadas de (1) y (2) sean iguales en x=0 nos da otra ecuación
Resolvemos las derivadas en x=0:

para (1)

$\dst \psi_1 (x) = A \ee^{i k_1 x} + B \ee^{- i k_1 x}$

$\dst \psi'_1 (x) = A i k_1 \ee^{i k_1 x} - B i k_1 \ee^{- i k_1 x}$

$\dst \psi'_1 (0) = A i k_1 \ee^{i k_1 0} - B i k_1 \ee^{- i k_1 0}$

$\dst \psi'_1 (0) = A i k_1 - B i k_1$

para (2)

$\dst \psi_2 (x) = C \ee^{i k_2 x}$

$\dst \psi'_2 (x) = C i k_2 \ee^{i k_2 x}$

$\dst \psi'_2 (0) = C i k_2 \ee^{i k_2 0}$

$\dst \psi'_2 (0) = C i k_2$

e igualandolas:

$\dst \psi'_1 (0) = A i k_1 - B i k_1 = C i k_2 = \psi'_2(0)$

$$\dst \boxed{(A - B) k_1 = C k_2}$$

Ahora tenes que las ecuaciones (3) y (4) te forman un sistema de dos ecuaciones con tres incognitas:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

si dividimos miembro a miembro tenemos:

$\dst \frac {A + B}{(A - B) k_1} = \frac 1 {k_2}$

$\dst ( A + B ) k_2 = ( A - B ) k_1$

$\dst A k_2 + B k_2 = A k_1 - B k_1$

$\dst A (k_2 - k_1) = - B ( k_2 + k_1 )$

$\dst \frac B A = \frac {k_1 - k_2}{k_1 + k_2}$

y el resultado queda:

$$\dst \boxed {\frac {B^2} {A^2} = \frac {(k_1 - k_2)^2}{(k_1 + k_2)^2}}$$

y creo que esta es la solución buscada.

s.e.u.o.

Suerte

[sater]

Re: Probabilidad de ser reflejada

A mi me daba igual y la corrección fue esa. Un saludo!