1r ciclo Pozo de potencial infinito en el límite clasico ("paradoja")

[javier m]

Si uno tiene un pozo de potencial infinito unidimensional de ancho L, se tiene que los niveles de energía tienen la siguiente forma:

$E_n =\dfrac{{\bar{h}}^2k_n^2}{2m} \dfrac{\pi^2 n^2}{L^2}$

De modo que $E_{n+1}-E_n=\dfrac{{\bar{h}}^2k_n^2}{2m} \dfrac{\pi^2 }{L^2} (2n+1)$


En el límite clasico, cuando n es muy grande la diferencia entre valores consecutivos de energía se puede hacer tan grande como se quiera, de modo que no se obtiene un continuo

Esto me salió en una prueba, y se supone que la solución a la aparente paradoja se resuelve porque si bien $E_{n+1}-E_n$ tiende a crecer, $\dfrac{E_{n+1}-E_n}{E_n}$ sí tiende a cero, para n suficientemente grande. Pero no estoy muy seguro de si eso de verdad resuelve el problema.

¿qué opinan?

[M_Odes]

Re: Pozo de potencial infinito en el límite clasico ("paradoja&quot

Pues, la fracción que muestras me recuerda el criterio razón para comprobar si una serie es convergente o no.
Por otro lado, me parece que la solución propuesta al problema tiene sentido pues corresponde a ¿qué tanto % de $E_n$ representa la diferencia de energías para los estados n y n+1? aunque la diferencia energetica tiene a ser un número grande, porcentualmente hablando, ese número puede representar poco entre ambos estados.

Yo diría que al considerar n tendiendo a infinito, se tienen los siguientes resultados:

$\dst{\lim_{n \to \infty} \frac{E_{n+1}-E_{n}}{E_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n +1 }{n^2} = 0}$

Por otro lado, también es cierto que

$\dst{\lim_{n \to \infty} \frac{E_{n+1}-E_{n}}{E_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n +1 }{(n+1)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n +1 }{n^2+2n+1} = 0}$

De donde se concluye que, en efecto, para n muy grande la diferencia de energías se hace muy pequeña, tanto así que puedes hablar de un continuo de energía.

Saludos y muchas gracias.

[carroza]

Re: Pozo de potencial infinito en el límite clasico ("paradoja&quot

Hola.

El limite clásico no es simplemente n grande.

Puedes obtener el límite clásico haciendo h pequeño, pero conservando la energía.
Con esto n se hace grande, pero la diferencia de niveles se hace cada vez más pequeña.

Tambien puedes obtener el límite clásico aumentando la masa M o la L del pozo, pero conservando la energía. De nuevo n
se hace grande, pero la diferencia de niveles se hace más pequeña.

Por ambos métodos accedes al continuo.

Saludos