1r ciclo Partícula en una región con cierta función potencial.

[sater]

Buenas. En un ejercicio de cuántica me piden:
>>estimar el estado de más baja energía, $E_0$ de una partícula que se mueve en una región con energía potencial $U(x)=C\cdot\left\vert{} x \right\vert{}$ con C>0, utilizando el principio de incertidumbre.

El caso es que no sé como interpretarlo (una vez más lo veo ambiguo). Lo que yo entiendo es que la región impone esa función potencial y me lo imagino como un poco pero triangular invertido, (la función valor absoluto de x como pozo de potencial).
Al final me queda una energía en función de x (cosa extraña) y lo interpreto (y perdonadme las barbaridades) como sigue: para cada x tendría un pozo de potencial infinito cuyos estados de energía dependen del valor de x y del número cuántico n. La fórmula que obtuve es $E = \dfrac{n^2 h^2}{32 m x^2}$ con $n=4,\:5,\:6...$
Lo que hice fue imponer las condiciones de contorno de la partícula en una caja tal que para cada x la anchura de la caja es 2x y como $\lambda=2 L/n = 4 x/n$.
Despues obtengo v de $m v = \dfrac{h}{\lambda}$ y obtengo la energía cinética (que supongo que es la que pide).
Para obtener n hice otra burrada quizá mayor que las anteriores que me ahorraré comentar por respeto a vuestros ojos y obtuve que era mayor o igual que cuatro y junto con las condiciones de contorno es natural.

Siento el rollazo, gracias por cualquier cable. Un saludo

[arivasm]

Re: Partícula en una región con cierta función potencial.

Yo voy a jugar de otra manera. A ver qué opinas.

Si pensamos en términos clásicos, si la partícula tiene una energía E se moverá en un intervalo limitado entre $-E/C$ y $E/C$. Por tanto, la incertidumbre en la posición puede estimarse mediante 2E/C. Por otra parte, en los puntos de retroceso su momento lineal es nulo (repito, ahora pienso en términos clásicos) mientras que en x=0 tendrá una energía cinética igual a E, de manera que el momento lineal en dicho punto, que será el máximo, valdrá $\sqrt{2mE}$. Así pues, la incertidumbre en el momento puede estimarse en $\sqrt{2mE}$. Si manejamos el principio de incertidumbre como $\Delta x\,\Delta p\simeq \hbar$ tenemos que $\dst E \simeq \left[ \frac{(C\hbar)^2}{8m} \right]^\frac{1}{3}$

[sater]

Re: Partícula en una región con cierta función potencial.

Perdón, ahora que lo veo lo he escrito mal la energía potencial es C por el valor absoluto de x, $U(x)=C\cdot\left\vert{}x \right\vert{}$. Mañana comento lo que opino que ahora es tarde y aun lo tengo que pensar, solo apuntar ese dato. Lo siento arivasm y demás que lo hayan intentado!

[arivasm]

Re: Partícula en una región con cierta función potencial.

Sólo aclarar que lo que contesté ya era pensando en $U(x)=C|x|$

[sater]

Re: Partícula en una región con cierta función potencial.

La verdad que pinta bastante mejor que lo hecho por mí, lo único que no entiendo es por qué la partícula se mueve en esa región, ¿me puedes aclarar eso? Gracias de antemano arivasm

[arivasm]

Re: Partícula en una región con cierta función potencial.

Repito que es una estimación combinando un enfoque clásico con uno cuántico. Como en mecánica clásica $\dst E=\frac{p^2}{2 m} + U=\frac{p^2}{2 m}+C|x|$, los puntos de retroceso serán aquellos en los que p=0 y de ahí que en ellos $|x|=E/C$. Para $|x|>C/E$ la energía cinética sería negativa, lo que en mecánica clásica sería imposible (pero sí en mecánica cuántica, y ahí empiezan las -grandes- diferencias entre ambas: mientras que en mecánica clásica la partícula estaría acotada entre -E/C y E/C en mecánica cuántica habrá una probabilidad no nula de encontrar la partícula fuera de esa región). Respecto del momento máximo, se corresponderá obviamente con x=0 (pues es U=0) y entonces $\dst E=\frac{p_{max}^2}{2 m}$.

[sater]

Re: Partícula en una región con cierta función potencial.

Vale ahora si lo entiendo, muchas gracias