1r ciclo Oscilador armónico tridimensional no isótropo

[gdonoso94]

Hola buenas, tengo el siguiente ejercicio:

"Dado un oscilador armónico tridimensional:

$\dst H=-\frac{\hbar}{2m}\nabla^2+\frac{1}{2}m(\omega_1^2x^2+\omega_2^2y^2+\omega_3^2z^2)$

Para $\dst \omega_1=\omega_2=2\omega_3$, ¿cuál es la degeneración correspondiente a un valor de energía $\dst E=\frac{11}{2}\hbar\omega_3$?"

Por ahora en el curso sólo he tratado con osciladores isótropos y no sé cómo tratar con este tipo de ejercicios, ¿alguien podría echarme una mano?

Muchas gracias.

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Me acabo de dar cuenta de una errata en el título, pone "no anisótropo", pero quería escribir "no isótropo" cuando me acordé de la existencia de "anisótropo" . A ver si algún mod puede cambiarlo.

Gracias.

[[Beto]]

Re: Oscilador armónico tridimensional no isótropo

No te compliques, se resuelve igual que siempre.

Luego de resolver la ecuación de schrödinger se llega a que

$$E_{n_1,n_2,n_3}=\hbar\omega_1(n_1+\frac{1}{2})+ \hbar\omega_2(n_2+\frac{1}{2}) +\hbar\omega_3(n_3+\frac{1}{2})$$

Luego reemplaza el dato que te dan $\omega_1=\omega_2=2\omega_3$ y obtienes:

$$E_{n_1,n_2,n_3}=\hbar2\omega_3(n_1+\frac{1}{2})+ \hbar2\omega_3(n_2+\frac{1}{2}) +\hbar\omega_3(n_3+\frac{1}{2})$$

Y acomodando un poco la expresión anterior:

$$E_{n_1,n_2,n_3}=\hbar\omega_3(2n_1+2 n_2+ n_3+\frac{5}{2})$$

Finalmente solo te queda contar de cuantas maneras se puede obtener la energía que te indican.

[gdonoso94]

Re: Oscilador armónico tridimensional no isótropo

Muchas gracias Beto.

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Ya que estamos... Actualizo. ¿Hay alguna manera más o menos rápida para contar de cuántas maneras se puede obtener 11/2? Me estoy tirando de los pelos para hacerlo hahahaha.

Saludos.

[[Beto]]

Re: Oscilador armónico tridimensional no isótropo

Pues ... Es relativamente rápido, se puede ver que $2n_1+2n_2+n_3=3$, luego como los enes solo pueden tomar valores enteros no negativos tienes tres posibilidades 1,0,1 0,1,1 y 0,0,3. Para hacerlo sin mucho esfuerzo empieza a partir de $n_3$, y veras que solo puede tomar dos valores, y cuando $n_3=1$ habrá dos formas para sumar 3, haciendo un total de 3 estados diferentes pero con la misma energía.

[gdonoso94]

Re: Oscilador armónico tridimensional no isótropo

Dios... Ahora me siento estúpido... Yo estaba haciéndolo tanteando los "n" a ojo... ¡Muchas gracias de nuevo Beto!