Secundaria Valores de la función de onda (Schrödinger)

[alexpglez]

Hola, estoy tratando de comprender la función de onda, y tenía algunas dudas:<br>La ecuación de Schrödinger es esta:

$$\left [-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec x) \right] \psi(\vec x, t) = - i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec x, t)$$

En donde la función de onda para $V = cte$ es:
$\psi(\vec x, t) = A e^{ i (\vec k \vec x - \omega t)}$
Donde: $\vert\vert \vec k \vert\vert = \frac{\sqrt {2m(\hbar \omega - V)}}{\hbar}$

He visto que en el caso de la partícula en una caja, la función de onda está cuantizada, en cambio para una partícula libre, vale para cualquier frecuencia angular, quiero decir, puedo dar a ese factor cualquier valor¿?.

Si saco A de la conservación de la probabilidad (entre infinito y - infinito), me sale que tiene que ser 0 para una onda libre... ¿?

Muchas gracias de antemano.

[arivasm]

Re: Valores de la función de onda (Schrödinger)

Sólo están cuantizados los estados energéticos correspondientes a sistemas ligados. Por tanto, para la partícula libre todas las energías son posibles.

Con respecto a tu segunda pregunta, encuentras, correctamente que debe ser $A=0$ para que la densidad de probabilidad sea normalizable. Eso simplemente significa que todos los puntos del espacio tienen la misma densidad de probabilidad y que ésta es nula.

Quizá se entiende mejor con un ejemplo: imagínate un tablero de ajedrez en el que hay una partícula, de manera que la probabilidad es la misma para todas las casillas. Si se trata de un tablero ordinario, a cada casilla le corresponde una probabilidad de 1/64. Pero si el tablero es de 100x100 cada casilla tiene una probabilidad de 1/10000. Si el tablero es de tamaño 10000x10000 cada casilla tiene una probabilidad de 1/100000000. Si es de tamaño... (sigue hasta el infinito).

[alexpglez]

Re: Valores de la función de onda (Schrödinger)

Si, como pensaba más o menos.. Pero entonces como se trabaja con la función de onda¿?, quiero decir, supongo que se trabajará con partículas libres o con potenciales constantes como aproximaciones en ciertos tramos, entonces no puede dar A=0..
Siento igual no expresarme bien del todo.

[arivasm]

Re: Valores de la función de onda (Schrödinger)

La función de onda es dependiente del potencial que, obviamente, casi nunca será constante.

La manera de trabajar en Mecánica cuántica se puede sintetizar de esta manera: conocido el potencial se resuelve la ecuación de Schrödinger, lo que permite determinar las funciones de onda (que serán aquellas que satisfacen la ecuación y las correspondientes condiciones de frontera). En este proceso, a cada función de onda solución le corresponde una energía.

Cabe aclarar que en muchos casos lo que interesa son las partes espaciales de la función de onda de los estados estacionarios, para lo cual no se maneja la ecuación de Schrödinger que has escrito, sino su forma independiente del tiempo (la puedes ver en esta entrada de Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%..._ecuaci.C3.B3n)

Con respecto al uso de aproximaciones, las que indicas, consistentes en recurrir a la función de onda de partícula libre o de potencial constante sólo aparecen en niveles didácticos muy preliminares.

Te recomiendo, si estás iniciándote en el tema por tu cuenta [parto de que tú mismo te etiquetas como estudiante de secundaria] que comiences por el caso del pozo unidimensional de paredes infinitas, que es muy sencillo de resolver y sirve de ejemplo magnífico para entender los conceptos generales que aparecerán en otros pozos de potencial. El siguiente suele ser el oscilador armónico unidimensional, si bien entonces ya se tropiezan con problemas matemáticos bastante notables para el estudiante que comienza en el tema, pues en las funciones de onda aparecen polinomios de Hermite.

Otro sistema "sencillo" son los átomos unidimensionales, pero de nuevo tenemos el problema de que las funciones de onda son complicadillas si no se tiene el nivel matemático suficiente, aunque siempre es posible jugar con ellas usando series de potencias.

Para que te hagas una idea, la solución de sistemas cuánticos no se suele dar en los primeros cursos de la carrera, por la necesidad de adquirir previamente los conocimientos matemáticos necesarios, sobre todo relacionados con la solución de ecuaciones diferenciales.

[alexpglez]

Re: Valores de la función de onda (Schrödinger)

Muchas gracias, aunque por más que busqué no entendí demasiado los polinomios de hermite, y he encontrado otros métodos algebraicos bastante más rigurosos que tampoco entiende muy bien, mejor dicho, entenderlos se pueden entender, pero yo nunca tendría la idea feliz de hacerlo así. Sí que llegue a una conclusión donde podía empezar a calcular las constantes, pero al ser con tres términos no he sabido seguir.
Sobre el problema de la partícula en una caja, vi un vídeo en donde explicaba utilizando la ecuación de onda de una partícula libre, que como en ese pozo, la onda va a rebotar, hay que tomar el valor de la onda reflejada (en donde la k es negativa), se suman las ondas, se determina la otra constante (que lógicamente era la primera constante con el signo contrario), y así llegaba a la misma solución que en wikipedia. No entiendo la diferencia entre resolverlo de un método o de otro, y como se sabría que existe una onda reflejada (me refiero en general, ahí es bastante obvio), o siempre hay que considerarla¿?

Muchas gracias otra vez, la cuántica parece bastante emocionante, que sea más difícil matemáticamente también la hace más interesante, aunque con la minúscula base me da que no la voy a entender mucho más. Y resolver las ecuaciones de Dirac relativistas en qué curso se da en la uni¿? Tengo unas ganas de llegar.

[arivasm]

Re: Valores de la función de onda (Schrödinger)

Quizá por una cuestión de formación, para la partícula en la caja yo no pienso en ondas que se reflejan, al menos cuando se trata de averiguar estados estacionarios. Yo lo entiendo como te dije anteriormente:

1. Constrúyase la ecuación de Schrödinger, en este caso $\dst -\frac{h^2}{8\pi^2 m}\frac{\dd^2\psi}{\dd x^2}=E\psi$
2. Resuélvase: la solución general es $\psi=A\sin\left(\frac{2\pi\sqrt{2mE}}{h}x+k\right)$
3. Impónganse las condiciones de frontera: si la caja está comprendida entre x=0 y x=L debe cumplirse que $\psi(0)=0$ y $\psi(L)=0$, lo que significa que $k=0$ y que $\dst\frac{\sqrt{8mE}}{h}L=n$, con $n$ entero. Es decir, sólo son estacionarios los estados con $\dst E=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}$
4. Si se desea, normalícese la función de onda, lo que lleva a $\dst A=\sqrt{\frac{2}{L}}$
5. La densidad de probabilidad de interacción de la partícula es $|\psi|^2$ (substitúyase lo anterior).

Aunque es un ejemplo sencillo ilustra perfectamente el proceso que permite, por ejemplo, conocer la estructura electrónica de una molécula. Por supuesto, lo que cambiará es la ecuación que hay que resolver (salvo unos pocos casos, como los que te mencioné en otro mensaje, se hace numéricamente) y, como es lógico, también la forma concreta de los estados energéticos y las densidades de probabilidad.

No creas que hay mucho más misterio alrededor de la ecuación de Schrödinger, al menos la independiente del tiempo.

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Me olvidaba: la ecuación de Dirac suele aparecer en los últimos cursos de carrera. Por supuesto, depende del plan de estudios, y cada universidad establece el suyo.